Question

已知直線l的方向向量為

a

=（1，1），且過直線l₁：2x+y+1=0和直線l₂：x-2y+3=0的交點(diǎn)．
（1）求直線l的方程；
（2）若點(diǎn)P（x₀，y₀）是曲線y=x²-lnx上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l的距離的最小值．

Answer 1

分析：（1）先求出兩直線的交點(diǎn)，然后根據(jù) 直線的方向向量可求直線的斜率，即可求解直線方程
（2）當(dāng)曲線上過點(diǎn)P的切線和直線y=x+2平行時(shí)，點(diǎn)P到直線y=x-2的距離最小．求出曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)值等于1，可得且點(diǎn)的坐標(biāo)，此切點(diǎn)到直線y=x-2的距離即為所求．

解答：解：（1）由

2x+y+1=0 x-2y+3=0

可得

x=-1 y=1

由題意可得，直線l的斜率k=1，且過（-1，1）
∴直線l的方程為y-1=x+1即x-y+2=0
（2）當(dāng)過點(diǎn)P的切線和直線y=x+2平行時(shí)，點(diǎn)P到直線y=x+2的距離最小．
由題意可得，y′=2x-

1

x

=1，
∴x=1，或 x=-

1

2

（舍去）
故曲線y=x²-lnx上和直線y=x+2平行的切線經(jīng)過的切點(diǎn)坐標(biāo)（1，1），
點(diǎn)（1，1）到直線y=x+2的距離d=

|1-1+2|

2

=

2

故點(diǎn)P到直線y=x-2的最小距離為

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法及導(dǎo)數(shù)的意義，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．