Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-4x+2（a＞0）滿足：對(duì)于任意的x∈[0，m]，不等式|f（x）|≤4成立．
（1）若a=3，求m的最大值
（2）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，m]上的最小值是-3，求a的值
（3）對(duì)于給定的正數(shù)a，當(dāng)a為何值時(shí)，m最大？并求出這個(gè)最大的m．

Answer 1

解：（1）當(dāng)a=3時(shí)，…（2分）
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）對(duì)于任意的x∈[0，m]，不等式|f（x）|≤4成立
所以m的最大值是方程3x²-4x+2=4的較大根，故…（4分）
（2）因?yàn)?3∈[-4，4]，所以f（x）=ax²-4x+2區(qū)間[0，m]上的最小值是在對(duì)稱軸處取得，…（7分）
所以，所以，所以…（8分）
（3）因?yàn)?，所以 ．…（9分）
①若，即時(shí)，m是方程ax²-4x+2=-4的較小根…（11分）
解之得：．…（12分）
②若，即時(shí)，所以m是方程ax²-4x+2=-4的較大根，即…（14分）
并且越小，m越大，
故當(dāng)，即時(shí)，m可以取到最大為3
又因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/115347.png' />．
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，m取得最大值3…（16分）
分析：（1）先配方，利用對(duì)于任意的x∈[0，m]，不等式|f（x）|≤4成立，可知m的最大值是方程3x²-4x+2=4的較大根；
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）對(duì)于任意的x∈[0，m]，不等式|f（x）|≤4成立，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，m]上的最小值-3∈[-4，4]，所以f（x）=ax²-4x+2區(qū)間[0，m]上的最小值是在對(duì)稱軸處取得；
（3））因?yàn)?，所以 ，與-4比較，進(jìn)行分類討論，我們就可以求出這個(gè)最大的m．
點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查配方法解決函數(shù)最值問(wèn)題，問(wèn)題（3）分類討論是關(guān)鍵．