【題目】已知函數(shù) 有兩個不同的零點.

(1)求的取值范圍;

(2)設(shè), 的兩個零點,證明: .

【答案】(1) (2)見解析

【解析】試題分析:(1)求出,分四種情況討論的范圍,在定義域內(nèi),分別令求得的范圍,可得函數(shù)增區(qū)間, 求得的范圍,可得函數(shù)的減區(qū)間,根據(jù)單調(diào)性,結(jié)合函數(shù)草圖可篩選出符合題意的的取值范圍;(2)構(gòu)造函數(shù)設(shè), ,可利用導(dǎo)數(shù)證明∴,∴

于是,即 上單調(diào)遞減,可得,進而可得結(jié)果.

試題解析:(1)【解法一】

函數(shù)的定義域為: .

①當時,易得,則上單調(diào)遞增,

至多只有一個零點,不符合題意,舍去.

②當時,令得: ,則

+

0

-

極大

.

設(shè),∵,則上單調(diào)遞增.

又∵,∴時, ; 時, .

因此:

(i)當時, ,則無零點,

不符合題意,舍去.

(ii)當時, ,

,∴在區(qū)間上有一個零點,

設(shè), ,∵,

上單調(diào)遞減,則,

,

在區(qū)間上有一個零點,那么, 恰有兩個零點.

綜上所述,當有兩個不同零點時, 的取值范圍是.

(1)【解法二】

函數(shù)的定義域為: . ,

①當時,易得,則上單調(diào)遞增,

至多只有一個零點,不符合題意,舍去.

②當時,令得: ,則

+

0

-

極大

.

∴要使函數(shù)有兩個零點,則必有,即

設(shè),∵,則上單調(diào)遞增,

又∵,∴

時:

,

在區(qū)間上有一個零點;

設(shè),

,∴上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,

,∴

,

,∴在區(qū)間上有一個零點,

那么,此時恰有兩個零點.

綜上所述,當有兩個不同零點時, 的取值范圍是.

(2)【證法一】

由(1)可知,∵有兩個不同零點,∴,且當時, 是增函數(shù);

時, 是減函數(shù);

不妨設(shè): ,則: ;

設(shè),

則:

.

時, ,∴單調(diào)遞增,又∵,

,∴

,∴

,∴,

, 上單調(diào)遞減,

,∴.

(2)【證法二】

由(1)可知,∵有兩個不同零點,∴,且當時, 是增函數(shù);

時, 是減函數(shù);

不妨設(shè): ,則: ;

設(shè), ,

.

時, ,∴單調(diào)遞增,

又∵,∴,∴,

,

,

, , 上單調(diào)遞減,

,∴.

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參考公式與臨界值表:

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

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3.841

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