Question

已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有f（x）=-f（x+2），且f（x）在區(qū)間[0，2]上有表達(dá)式f（x）=x（x-2）．
（1）求f（-1），f（2.5）的值；
（2）寫(xiě)出f（x）在[-3，3]上的表達(dá)式，設(shè)g（x）=f（x）-k（k∈R），隨著k的變化討論函數(shù)g（x）在區(qū)間[-3，3]上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)
（3）體會(huì)（2）中解析式的求法，試求出f（x）在R上的解析式，給出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；并求出x為何值時(shí)，f（x）有最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)恒等式進(jìn)行賦值，令x=-1，x=2.5，結(jié)合f（x）在區(qū)間[0，2]上有表達(dá)式f（x）=x（x-2），即可求得f（-1），f（2.5）的值；
（2）設(shè)x∈[-2，0]，則0≤x+2≤2，利用已知條件即可求得x∈[-2，0]上的解析式，同理可以求得x∈[-3，-2]和x∈[2，3]上的解析式，最后寫(xiě)成分段函數(shù)即可得到答案，一次判斷各段函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)值的取值范圍，從而得到整個(gè)函數(shù)的單調(diào)性即函數(shù)值的取值情況，即可得到函數(shù)g（x）在區(qū)間[-3，3]上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
（3）根據(jù)f（x）=-f（x+2）可以確定函數(shù)的周期為4，當(dāng)x∈[4n，4n+2]可以利用周期轉(zhuǎn)化為區(qū)間x-4n∈[0，2]，同理求解當(dāng)x∈[4n-2，4n]時(shí)，再利用（2）的結(jié)果，即可求出f（x）的解析式，利用函數(shù)的周期性以及（2）中的單調(diào)性，即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)性，從而得到f（x）的最大值．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有f（x）=-f（x+2），且當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=x（x-2），
∴f（-1）=-f（-1+2）=-f（1）=1，
f(2.5)=-f(0.5+2)=-f(0.5)=

3

4

；
（2）函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有f（x）=-f（x+2），且當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=x（x-2），
設(shè)x∈[-2，0]，則0≤x+2≤2，
∴f（x）=-f（x+2）=-（x+2）（x+2-2）=-x（x+2），
設(shè)x∈[-3，-2]時(shí)，則-1≤x+2≤0，
∴f（x）=-f（x+2）=（x+2）（x+2+2）=（x+2）（x+4），
設(shè)x∈[2，3]時(shí)，則0≤x-2≤1，
f（x）=f（（x-2）+2）=-f（x-2）=-（x-2）（x-2-2）=-（x-2）（x-4），
綜上所述，f（x）在[-3，3]上的表達(dá)式為f(x)=

(x+2)(x+4)，-3≤x＜-2 -x(x+2)，-2≤x＜0 x(x-2)，0≤x≤2 -(x-2)(x-4)，2＜x≤3

，
函數(shù)g（x）在區(qū)間[-3，3]上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為方程g（x）=0的解得個(gè)數(shù)，
由g（x）=0，得f（x）=k，函數(shù)g（x）在區(qū)間[-3，3]上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即y=f（x）與y=k的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，
根據(jù)f（x）在[-3，3]上的表達(dá)式以及二次函數(shù)的性質(zhì)可得，f（x）的單調(diào)性情況如下：
f（x）在[-3，-1]上為增函數(shù)，在[-1，1]上為減函數(shù)，在[1，3]上為增函數(shù)，
又∵f（-3）=f（1）=-1，f（-1）=f（3）=1，
①當(dāng)k＜-1或k＞1時(shí)，函數(shù)y=f（x）與直線y=k無(wú)交點(diǎn)，即函數(shù)g（x）無(wú)零點(diǎn)；
②當(dāng)k=-1或k=1時(shí)，函數(shù)y=f（x）與直線y=k有2交點(diǎn)，即函數(shù)g（x）有2個(gè)零點(diǎn)；
③當(dāng)-1＜k＜1時(shí)，函數(shù)y=f（x）與直線y=k有3交點(diǎn)，即函數(shù)g（x）有3個(gè)零點(diǎn)．
綜上所述，當(dāng)k＜-1或k＞1時(shí)，函數(shù)g（x）無(wú)零點(diǎn)，
當(dāng)k=-1或k=1時(shí)，函數(shù)g（x）有2個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)-1＜k＜1時(shí)，函數(shù)g（x）有3個(gè)零點(diǎn)．
（3）∵函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有f（x）=-f（x+2），即f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=f（x+2+2）=-f（x+2）=f（x），
故函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，且周期為4，
設(shè)n∈Z，則f（x+4n）=f[x+4（n-1）+4]=f[x+4（n-1）]=…=f（x），
當(dāng)x∈[4n，4n+2]時(shí)，0≤x-4n≤2，
∴f（x）=f（x-4n+4n）=f（x-4n）=（x-4n）（x-4n-2），
當(dāng)x∈[4n-2，4n]時(shí)，-2≤x-4n≤0，
∴f（x）=f（x-4n+4n）=f（x-4n）=-（x-4n）（x-4n+2），
綜上所述，f（x）=

-(x-4n)(x-4n+2)，4n-2≤x≤4n (x-4n)(x-4n-2)，4n＜x≤4n+2

，n∈Z，
根據(jù)f（x）的周期性，結(jié)合（2）中的單調(diào)性，即可得到：
f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[4n-1，4n+1]，單調(diào)遞增區(qū)間為[4n+1，4n+3]，n∈Z，
∴當(dāng)x=4n-1時(shí)，f（x）有最大值1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的解析式的求解，函數(shù)周期性，函數(shù)的單調(diào)性．對(duì)于求解函數(shù)解析式常見(jiàn)的方法有：待定系數(shù)法，換元法，湊配法，消元法等．本題運(yùn)用了“整體代換”的思想即換元法求解解析式，解題的關(guān)鍵在于利用已知的恒等式將所要求解的區(qū)間轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上．屬于中檔題．