已知向量
OP
=(2cosx+1,cos2x-sinx+1)
,
OQ
=(cosx,-1)
,定義f(x)=
OP
OQ

(1)求出的解析式.當(dāng)時(shí),它可以表示一個(gè)振動(dòng)量,請(qǐng)指出其振幅,相位及初相.
(2)f(x)的圖象可由y=sinx的圖象怎樣變化得到?
(3)設(shè)x∈[-
4
,-
4
]
時(shí)f(x)的反函數(shù)為f-1(x),求f-1(
1
2
)
的值.
分析:(1)通過(guò)向量的數(shù)量積、二倍角公式兩角和的正弦函數(shù)、化簡(jiǎn)函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式,即可求出其振幅,相位及初相.
(2)利用左加右減的原則,通過(guò)左右平移,伸縮變換即可由y=sinx的圖象得到f(x)的圖象;
(3)求出f(x)的反函數(shù)為f-1(x)的表達(dá)式,即可通過(guò)x∈[-
4
,-
4
]
,求出f-1(
1
2
)
的值.
解答:解:(1)f(x)=
OP
OQ
=(2cosx+1,cos2x-sinx+1)•(cosx,-1)
=2cos2x+cosx-cos2x+sinx-1
=sinx+cosx
=
2
sin(x+
π
4
).
其振幅為
2
,相位為x+
π
4
,初相為
π
4
,
(2)可由y=sinx圖象橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的
2
倍,
再把曲線上的所有點(diǎn)向左平移
π
4
單位,
就得到y(tǒng)=
2
sin(x+
π
4
)
的圖象.
(3)不妨設(shè)f-1
1
2
)=t,t∈[-
4
,-
4
],
則f(t)=
1
2
,即
2
sin (t+
π
4
) =
1
2

sin (t+
π
4
) =
2
4

-
4
≤t≤-
4

-
2
≤t+
π
4
≤-
π
2
,
t+
π
4
=-π-arcsin
2
4
,
t=-
5
4
π-arcsin
2
4

即f-1
1
2
)=-
5
4
π-arcsin
2
4
點(diǎn)評(píng):本題是中檔題,考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用,三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,轉(zhuǎn)化思想.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在以下四個(gè)命題中,不正確的個(gè)數(shù)為( 。
(1)若
a
b
-
c
都是非零向量,則
a
 • 
b
=
a
 • 
c
a
⊥(
b
-
c
)的充要條件

(2)已知不共線的三點(diǎn)A、B、C和平面ABC外任意一點(diǎn)O,點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的充要條件是存在x,y,z∈R,
OP
=x
OA
+y
OB
+z
OC
且x+y+z=1
(3)空間三個(gè)向量
a
,
b
,
c
,若
a
b
,
 b
c
,  則
a
c

(4)對(duì)于任意空間任意兩個(gè)向量
a
, 
b
,
a
b
的充要條件是存在唯一的實(shí)數(shù)λ,使
a
b

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

對(duì)向量a=(a1,a2),b=(b1,b2)定義一種運(yùn)算“?”:a?b=(a1,a2)?(b1,b2)=(a1b1,a2b2),已知?jiǎng)狱c(diǎn)P、Q分別在曲線y=sinx和y=f(x)上運(yùn)動(dòng),且
OQ
=
m
?
OP
+
n
(其中為O坐標(biāo)原點(diǎn)),若 
m
=(
1
2
,3),
n
=(
π
6
,0),則y=f(x)
的最大值為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

定義向量⊕運(yùn)算:
a
b
=
c
,若
a
=(a1,a2),
b
=(b1,b2),則向量
c
=(a1b1,a2b2).已知
m
=(
1
2
,2
),
n
=(
π
6
,0
),且點(diǎn)P(x,y)在函數(shù)y=cos2x的圖象上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q在函數(shù)y=f(x)的圖象上運(yùn)動(dòng),且點(diǎn)P和點(diǎn)Q滿足:
OQ
=
m
OP
+
n
(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則函數(shù)y=f(x)的最大值A(chǔ)及最小正周期T分別為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

在以下四個(gè)命題中,不正確的個(gè)數(shù)為( 。
(1)若
a
b
-
c
都是非零向量,則
a
 • 
b
=
a
 • 
c
a
⊥(
b
-
c
)的充要條件

(2)已知不共線的三點(diǎn)A、B、C和平面ABC外任意一點(diǎn)O,點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的充要條件是存在x,y,z∈R,
OP
=x
OA
+y
OB
+z
OC
且x+y+z=1
(3)空間三個(gè)向量
a
,
b
,
c
,若
a
b
,
 b
c
,  則
a
c

(4)對(duì)于任意空間任意兩個(gè)向量
a
, 
b
,
a
b
的充要條件是存在唯一的實(shí)數(shù)λ,使
a
b
A.1B.2C.3D.4

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