Question

20．函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{x+2}$+$\frac{1}{x+3}$+…+$\frac{1}{x+2016}$圖象的對稱中心是（-1008.5，0）．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)f（x-1008.5），判斷函數(shù)的奇偶性，結(jié)合函數(shù)圖象的變化關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{x+2}$+$\frac{1}{x+3}$+…+$\frac{1}{x+2016}$，
∴f（x-1008.5）=$\frac{1}{x-1007.5}$+$\frac{1}{x-1006.5}$+…+$\frac{1}{x+1007.5}$，
設(shè)g（x）=f（x-1008.5）=$\frac{1}{x-1007.5}$+$\frac{1}{x-1006.5}$+…+$\frac{1}{x+1007.5}$，
則g（-x）=-（$\frac{1}{x-1007.5}$+$\frac{1}{x-1006.5}$+…+$\frac{1}{x+1007.5}$）=-g（x），
即g（x）是奇函數(shù)，
則g（x）關(guān)于原點(diǎn)對稱，
則f（x）=g（x+1008.5），
則將g（x）沿著x軸，向左平移1008.5個單位，此時函數(shù)為f（x），圖象關(guān)于（-1008.5，0）對稱，
故函數(shù)f（x）的對稱中心為（-1008.5，0）．
故答案為：（-1008.5，0）．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)對稱中心的求解，利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，構(gòu)造一個奇函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．