Question

求證:3ⁿ＞(n+2)·2^n-1（n∈N^*，n＞2）.

Answer 1

證明略

證明 利用二項式定理3ⁿ=(2+1)ⁿ展開證明.
因為n∈N^*，且n＞2,所以3ⁿ=(2+1)ⁿ展開后至少有4項.
（2+1）ⁿ=2ⁿ+C·2^n-1+…+C·2+1≥2ⁿ+n·2^n-1+2n+1＞2ⁿ+n·2^n-1=(n+2)·2^n-1,
故3ⁿ＞(n+2)·2^n-1.