(1)不等式ax2+4x+a>1-2x2對一切x∈R恒成立,求實數(shù)a的取值范圍
(2)已知f(x)是定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函數(shù),當x∈(0,+∞)時,f(x)=ax+2lnx,(a∈R),求f(x)的解析式.
分析:(1)不等式ax2+4x+a>1-2x2對一切x∈R恒成立?(2+a)x2+4x+a-1>0對一切x∈R恒成立,當2+a=0時,容易驗證是否成立;當2+a≠0時,必須滿足
2+a>0
△=16-4(2+a)(a-1)<0
,解得a即可;
(2)設x<0,則-x>0,而函數(shù)f(x)是奇函數(shù),可得f(x)=-f(-x)即可.
解答:解:(1)不等式ax2+4x+a>1-2x2對一切x∈R恒成立?(2+a)x2+4x+a-1>0對一切x∈R恒成立,
當2+a=0時,化為4x-3>0對一切x∈R不恒成立,應舍去.
當2+a≠0時,必須滿足
2+a>0
△=16-4(2+a)(a-1)<0
,解得a>2或a<-3.
綜上可知:實數(shù)a的取值范圍是(-∞,-3)∪(2,+∞).
(2)設x<0,則-x>0,而函數(shù)f(x)是奇函數(shù),
∴f(x)=-f(-x)=-[-ax+2ln(-x)]=ax-2ln(-x).
f(x)=
ax+2lnx,x>0
ax-2ln(-x),x<0
點評:熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的奇偶性等是解題的關(guān)鍵.
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-4
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9
9

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A、(-3,+∞)B、(-∞,-3)C、(1,+∞)D、(-∞,1)

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