Question

9．已知△ABC的三個內角A、B、C成等差數列，它們的對邊分別為a，b，c，且滿足a：b=$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$，c=2．
（1）求A、B、C；
（2）求△ABC的面積S．

Answer 1

分析 （1）由題為求角，可利用題中的條件A、B、C成等差數列及a：b=$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$，c=2，可運用正弦定理，可求出角A，B，C．
（2）由（1）已知角，可借助三角形面積公式求，先運用正弦定理求出所需的邊（注意運算途徑的選擇，可運用余弦定理運算繁瑣），可求出面積．

解答 解：（1）∵A、B、C成等差數列，又$A+B+C=π，3B=π，B=\frac{π}{3}$，又a：b=$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$，
∴由正弦定理得；$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}，\frac{a}=\frac{sinA}{sinB}，sinA=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∵a＜b，
∴$A=\frac{π}{4}$．$C=\frac{5π}{12}$
（2）由（1）可得；$sinC=sin（A+B）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}×\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{4}$，
由正弦定理可得：$\frac{c}{sinC}=\frac{sinB}，b=\frac{csinB}{sinC}，b=3\sqrt{2}-\sqrt{6}$，
則由${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×2×（3\sqrt{2}-\sqrt{6}）×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=3-\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了等差數列的性質，正弦定理，三角形面積公式，三角形內角和定理，兩角和的正弦函數公式在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．