Question

已知可行域的外接圓C₁與x軸交于點(diǎn)A₁、A₂，橢圓C₂以線段A₁A₂為長(zhǎng)軸，離心率
（1）求圓C₁及橢圓C₂的方程
（2）設(shè)橢圓C₂的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為圓C₁上異于A₁、A₂的動(dòng)點(diǎn)，過原點(diǎn)O作直線PF的垂線交直線x=2于點(diǎn)Q，判斷直線PQ與圓C₁的位置關(guān)系，并給出證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可知，可行域是以為頂點(diǎn)的三角形．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101231417542397706/SYS201311012314175423977016_DA/1.png">，所以△A₁A₂M為直角三角形，外接圓C₁的方程為x²+y²=2．設(shè)橢圓的方程為，由，，能求出橢圓C₂的方程．
（2）設(shè)，當(dāng)x=1時(shí)，OP⊥PQ，直線PQ與圓C₁相切．當(dāng)．當(dāng)x=0時(shí)，OP⊥PQ．當(dāng)，OP⊥PQ．綜上，當(dāng)時(shí)，故直線PQ始終與圓C₁相切．
解答：解：（1）由題意可知，可行域是以為頂點(diǎn)的三角形（1分）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101231417542397706/SYS201311012314175423977016_DA/11.png">
∴△A₁A₂M為直角三角形
∴外接圓C₁是以原點(diǎn)O為圓心，線段|A₁A₂|=為直徑的圓
故其方程為x²+y²=2（3分）
設(shè)橢圓的方程為∵∴
又∴c=1，可得b=1
故橢圓C₂的方程為（5分）
（2）直線PQ始終與圓C₁相切（6分）
設(shè)
當(dāng)x=1時(shí)，P（1，1）或P（1，-1），此時(shí)Q（2，0）
若k_OP•k_PQ=-1∴OP⊥PQ
若k_OP•k_PQ=-1∴OP⊥PQ
即當(dāng)x=1時(shí)，OP⊥PQ，直線PQ與圓C₁相切（8分）
當(dāng)∴
所以直線OQ的方程為，因此點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，（9分）
∵（10分）
∴當(dāng)x=0時(shí)，k_PQ=0，OP⊥PQ
∴當(dāng)，
∴k_OP•k_PQ=-1OP⊥PQ
綜上，當(dāng)時(shí)，OP⊥PQ，故直線PQ始終與圓C₁相切（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．