Question

設拋物線C：x²=2py（p＞0），過它的焦點F且斜率為1的直線與拋物線C相交于A，B兩點，已知|AB|=2．
（1）求拋物線C的方程；
（2）已知t是一個負實數(shù)，P是直線y=t上一點，過P作直線l₁與l₂，使l₁⊥l₂，若對任意的點P，總存在這樣的直線l₁與l₂，使l₁，l₂與拋物線均有公共點，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用拋物線的定義，結合|AB|=2，即可求得拋物線的方程；
（2）由題意知，只需使過點P（0，t）的拋物線x²=y的切線PC的垂線PD與該拋物線有交點即可，
將直線PD的方程代入拋物線方程，得到△≥0，即可求t的取值范圍．

解答：解：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1•x2

由題意知，拋物線的焦點F為（0，

p

2

），則直線AB的方程為y-

p

2

=1×(x-0)，即為y=x+

p

2

，
聯(lián)立拋物線方程得到

y=x+ p 2 x2=2py(p＞0)

整理得x²-2px-p²=0（p＞0），則

x1+x2=2p x1•x2=-p2

故|AB|=

1+k2

•

(2p)2-4•(-p2)

=

2

•2

2

p=4p=2，解得p=

1

2

故拋物線C的方程為：x²=y；
（2）由（1）知拋物線C的方程為：x²=y，如圖示，設C（xC，xC2），P（0，t），
由題意知，只需使過點P（0，t）的拋物線x²=y的切線PC的垂線PD與該拋物線有交點即可，
將拋物線的方程改寫為y=x²，求導得y ′=2x
所以過點C的切線PC的斜率是2xC=

xC2-t

xC

，即xC2=-t
由于直線PD與切線PC垂直，故直線PD的斜率為-

1

2xC

則直線PD的方程為：y-t=-

1

2xC

x，即是y=-

1

2xC

x+t
聯(lián)立拋物線的方程y=x²得到x2+

1

2xC

x-t=0
由于PD與該拋物線有交點，則△=(

1

2xC

)2+4t≥0，即

1

-4t

+4t≥0（t＜0）
解得 -

1

4

≤t＜0，則t的取值范圍為{t|-

1

4

≤t＜0}．

點評：本題考查拋物線的定義，考查直線與拋物線的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．