Question

8．若正三棱錐的側面都是直角三角形，則側面與底面所成的二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 如圖所示，取AC的中點D，連接PD，BD．由于PA=PC，可得PD⊥AC．利用正三棱錐的側面都是直角三角形，可得PB⊥平面PAC，于是PD⊥AC．因此∠BDP是側面與底面所成的二面角的平面角．利用直角三角形的邊角關系即可得出．

解答 解：如圖所示，取AC的中點D，連接PD，BD．
∵PA=PC，∴PD⊥AC．
∵PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA．
又PA∩PC=P，∴PB⊥平面PAC．
∴PD⊥AC．
∴∠BDP是側面與底面所成的二面角的平面角．
不妨取PA=2，則PD=$\frac{PC•PA}{AC}$=$\frac{2×2}{\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}}$=$\sqrt{2}$．
PD=$\sqrt{P{D}^{2}+P{B}^{2}}$=$\sqrt{6}$．
在Rt△PBD中，cos∠BDP=$\frac{PD}{BD}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了正三棱錐的性質、線面垂直的判定與性質定理、二面角、直角三角形的邊角關系、勾股定理、等腰三角形的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．