Question

19．已知函數(shù)f（x）=a^x-$\frac{1}{a^x}$（其中a＞0且a≠1，a為實(shí)數(shù)常數(shù)）．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若a^tf（2t）+mf（t）≥0對(duì)于t∈[0，1]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)討論a的范圍確定函數(shù)的單調(diào)性即可；
（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為①若a＞1，t∈[0，1]，a^2t+1+m≥0，得m≥-（a^2t+1），②若0＜a＜1，t∈[0，1]，m≤-（a^2t+1），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可．

解答 解：（1）$f（x）={a^x}-\frac{1}{a^x}$的定義域?yàn)镽，
設(shè)-∞＜x₁＜x₂＜+∞，△x=x₂-x₁＞0，
則$△y=f（{x_2}）-f（{x_1}）={a^{x_2}}-\frac{1}{{{a^{x_2}}}}-（{a^{x_1}}-\frac{1}{{{a^{x_1}}}}）$
=$（{a^{x_2}}-{a^{x_1}}）+\frac{1}{{{a^{x_1}}}}-\frac{1}{{{a^{x_2}}}}=（{a^{x_2}}-{a^{x_1}}）+\frac{{{a^{x_2}}-{a^{x_1}}}}{{{a^{{x_1}+{x_2}}}}}$
=$（{a^{x_2}}-{a^{x_1}}）（1+\frac{1}{{{a^{{x_1}+{x_2}}}}}）$，
當(dāng)a＞1時(shí)，△y＞0，f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，△y＜0，f（x）為單調(diào)遞減函數(shù)；
（2）當(dāng)t∈[0，1]時(shí)，${a^t}（{a^{2t}}-\frac{1}{{{a^{2t}}}}）+m（{a^t}-\frac{1}{a^t}）≥0$，
即${a^t}（{a^t}-\frac{1}{a^t}）（{a^t}+\frac{1}{a^t}）+m（{a^t}-\frac{1}{a^t}）≥0$，
①若a＞1，t∈[0，1]，${a^t}-\frac{1}{a^t}≥0$，所以a^2t+1+m≥0，得m≥-（a^2t+1），
因?yàn)閠∈[0，1]，所以a^2t+1∈[2，a²+1]，-（a^2t+1）∈[-1-a²，-2]，
故m的取值范圍是[-2，+∞）； 
②若0＜a＜1，t∈[0，1]，${a^t}-\frac{1}{a^t}≤0$，所以m≤-（a^2t+1），
因?yàn)閠∈[0，1]，所以a^2t+1∈[a²+1，2]，-（a^2t+1）∈[-2，-1-a²]，
故m的取值范圍是（-∞，-2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道中檔題．