Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M、N分別是橢圓的頂點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P，A兩點(diǎn)，其中點(diǎn)P在第一象限，過(guò)P作x軸的垂線，垂足為C，連結(jié)AC，并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B，設(shè)直線PA的斜率為k.

（1）若直線PA平分線段MN，求k的值；

（2）當(dāng)k＝2時(shí)，求點(diǎn)P到直線AB的距離d，且求的面積．

 

 

Answer 1

（1）；（2）d＝，．

【解析】

試題分析：（1）由題設(shè)寫(xiě)出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，求出線段MN中點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)線PA過(guò)原點(diǎn)和斜率公式，即可求出k的值；

（2）寫(xiě)出直線PA的方程，代入橢圓，求出點(diǎn)P，A的坐標(biāo)，求出直線AB的方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，即可求得點(diǎn)P到直線AB的距離d；再聯(lián)立直線AB的方程與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式求出弦AB的長(zhǎng)，從而由三角形的面積公式就可求出的面積．

試題解析：（1）由題設(shè)知，a＝2，b＝，故M（－2，0），N（0，－），所以線段MN中點(diǎn)的坐標(biāo)為.由于直線PA平分線段MN，故直線PA過(guò)線段MN的中點(diǎn)，

又直線PA過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以k＝＝. 5分

（2）直線PA的方程為y＝2x，代入橢圓方程得

，解得x＝±，

因此P，A.

于是C，直線AC的斜率為＝1，

故直線AB的方程為x－y－＝0.

因此，d＝＝. 10分

，消去y，得

15分

考點(diǎn)：1．直線斜率的求法；2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)；3．直線與橢圓的位置關(guān)系．