Question

16．已知函數f（x）=|2x+1|-a²+$\frac{3a}{2}$，g（x）=|x|．
（I）當a=0時，解不等式f（x）-g（x）≥0；
（2）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當a=0時，由f（x）≥g（x）得|2x+1|≥|x|，兩邊平方整理得3x²+4x+1≥0，解得x的范圍．
（2）由f（x）≤g（x）求得a²-$\frac{3a}{2}$≥|2x+1|-|x|，令h（x）=|3x+2|-|x|，求得h（x）的最小值，可得所求實數a的范圍．

解答 解：（1）當a=0時，由f（x）-g（x）≥0，得|2x+1|≥|x|，
兩邊平方整理得3x²+4x+1≥0，解得x≤-1 或 x≥-$\frac{1}{3}$，
∴原不等式的解集為{x|x≤-1 或 x≥-$\frac{1}{3}$}．
（2）由f（x）≤g（x）得 a²-$\frac{3a}{2}$≥|2x+1|-|x|，
令h（x）=|2x+1|-|x|=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，x≥0}\\{3x+1，-\frac{1}{2}＜x＜0}\\{-x-1，x≤-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
故h（x）的最小值為h（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$，
∴a²-$\frac{3a}{2}$≥-$\frac{1}{2}$，解得：a≥1或a≤$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查分式不等式的解法，函數的恒成立問題，體現了等價轉化和分類討論的數學思想，屬于中檔題．