已知是偶函數(shù).
(1)求的值;
(2)證明:對(duì)任意實(shí)數(shù),函數(shù)的圖像與直線最多只有一個(gè)交點(diǎn);
(3)設(shè)若函數(shù)的圖像有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(1);(2)證明見解析;(3).
解析試題分析:(1)由,并進(jìn)行檢驗(yàn);(2)原問題等價(jià)于證明方程組
最多只有一組解,即證方程最多只有一個(gè)實(shí)根,利用反證法證明該方程不可能有兩個(gè)實(shí)根,所以原命題得證;(3)問題轉(zhuǎn)化為方程:只有唯一解,令,則可化為關(guān)于的方程:只有唯一正根,注意討論二次項(xiàng)系數(shù)為0和不為0兩種情形,當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為0時(shí),利用二次函數(shù)根的判定方法,最終可以得到所求實(shí)數(shù)的取值范圍.
試題解析:解:(1)由 經(jīng)檢驗(yàn)的滿足題意; 2分
(2)證明:即證方程組最多只有一組解,
即證方程最多只有一個(gè)實(shí)根. 4分
下面用反證法證明:
假設(shè)上述方程有兩個(gè)不同的解則有:
.
但時(shí),不成立.
故假設(shè)不成立.從而結(jié)論成立. 7分
(3)問題轉(zhuǎn)化為方程:只有唯一解. 9分
令,則可化為關(guān)于的方程:只有唯一正根. 10分
若,則上述方程變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/b3/b/6jp5b1.png" style="vertical-align:middle;" />,無解.故 11分
若二次方程(*)兩根異號(hào),即.此時(shí)方程(*)有唯一正根,滿足條件; 12分
若二次方程(*)兩根相等且為正,則. 13分
故的取值范圍是:. 14分
考點(diǎn):偶函數(shù),函數(shù)與方程,二次函數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知,.
(1)求的解析式;
(2)解關(guān)于的方程
(3)設(shè),時(shí),對(duì)任意總有成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知二次函數(shù)集合
(1)若求函數(shù)的解析式;
(2)若,且設(shè)在區(qū)間上的最大值、最小值分別為,記,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
某工廠某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元,每生產(chǎn)千件,需另投入成本為(萬元),當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時(shí),(萬元).當(dāng)年產(chǎn)量不小于80千件時(shí),(萬元).每件商品售價(jià)為500元.通過市場(chǎng)分析,該廠生產(chǎn)的商品能全部售完.
(1)寫出年利潤(rùn)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量(千件)的函數(shù)解析式;
(2)年產(chǎn)量為多少千件時(shí),該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知,為其反函數(shù).
(Ⅰ)說明函數(shù)與圖象的關(guān)系(只寫出結(jié)論即可);
(Ⅱ)證明的圖象恒在的圖象的上方;
(Ⅲ)設(shè)直線與、均相切,切點(diǎn)分別為()、(),且,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)和的圖象關(guān)于軸對(duì)稱,且.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)當(dāng)時(shí),解不等式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知是關(guān)于的方程的兩個(gè)根,且.
(1)求出與之間滿足的關(guān)系式;
(2)記,若存在,使不等式在其定義域范圍內(nèi)恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
定議在上的單調(diào)函數(shù)滿足,且對(duì)任意都有
(1)求證:為奇函數(shù);
(2)若對(duì)任意恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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