平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（1，0），B（0，1），C（2，5），D是AC上的動點(diǎn)，滿足
AD
=λ
AC
（λ∈R）．
（Ⅰ）求|2
AB
+
AC
|的值；
（Ⅱ）求cos∠BAC；
（Ⅲ）若
BD
⊥
BA
，求實(shí)數(shù)λ的值．
分析：（Ⅰ）由已知計(jì)算2
AB
+
AC
=(-1，7)，根據(jù)向量的數(shù)量積的性質(zhì)可求
（Ⅱ）根據(jù)向量的夾角公式cos∠BAC=
AB
•
AC
|
AB
||
AC
|
可求
（Ⅲ）由
BD
⊥
BA
，可得
BD
•
BA
=0，從而可得關(guān)于λ的方程，求解即可
解答：解：（Ⅰ）因?yàn)?span id="984cley" class="MathJye">
AB
=(-1，1)，
AC
=(1，5)，所以2
AB
+
AC
=(-1，7)（2分）
|2
AB
+
AC
|=
(-1)2+72
=5
2
（4分）
（Ⅱ）因?yàn)?span id="zhpamly" class="MathJye">cos∠BAC=
AB
•
AC
|
AB
||
AC
|
（6分）
所以cos∠BAC=
(-1)×1+1×5
(-1)2+12
•
12+52
=
2
13
13
（9分）
（Ⅲ）
BD
=
AD
-
AB
=λ(1，5)-(-1，1)=(λ+1，  5λ-1)（11分）
因?yàn)?span id="adclpyx" class="MathJye">
BD
⊥
BA
，所以
BD
•
BA
=0（13分）
BA
=(1，-1)即（λ+1）×1+（5λ-1）×（-1）=0，解得λ=
1
2
（14分）
點(diǎn)評：本題主要綜合考查了向量的模的求解，向量的夾角公式的求解及向量垂直的坐標(biāo)表示等向量的數(shù)量積的性質(zhì)的運(yùn)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，“方程
x2
k-1
+
y2
k-3
=1表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線”的充要條件是k∈
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，Pn（n，n2）（n∈N+）是拋物線y=x2上的點(diǎn)，△OPnPn+1的面積為Sn．
（1）求Sn；
（2）化簡
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
；
（3）試證明S1+S2+…+Sn=
n(n+1)(n+2)
6
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(4+2
3
，2)，B(4，4)，圓C是△OAB的外接圓．
（1）求圓C的方程；
（2）若過點(diǎn)（2，6）的直線l被圓C所截得的弦長為4
3
，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為：
x=-2+
3
5
t
y=2+
4
5
t
（t為參數(shù)），它與曲線C：（y-2）2-x2=1交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求|AB|的長；
（2）在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(2
2
，
3π
4
)，求點(diǎn)P到線段AB中點(diǎn)M的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知矩形ABCD的兩邊AB，CD分別落在x軸、y軸的正半軸上，且AB=2，AD=4，點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)重合．現(xiàn)將矩形折疊，使點(diǎn)A落在線段DC上，若折痕所在的直線的斜率為k，試寫出折痕所在直線的方程及k的范圍．

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