Question

如圖，已知平面內(nèi)一動點(diǎn)A到兩個定點(diǎn)F₁、F₂的距離之和為4，線段F₁F₂的長為2

3

．
（1）求動點(diǎn)A的軌跡Γ的方程；
（2）過點(diǎn)F₁作直線l與軌跡Γ交于A、C兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在線段F₁F₂的上方，線段AC的垂直平分線為m．
①求△AF₁F₂的面積的最大值；
②軌跡Γ上是否存在除A、C外的兩點(diǎn)S、T關(guān)于直線m對稱，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)平面內(nèi)一動點(diǎn)A到兩個定點(diǎn)F₁、F₂的距離之和為4，線段F₁F₂的長為2

3

，可得軌跡是以F₁、F₂為焦點(diǎn)的橢圓，建立平面直角坐標(biāo)系，可得動點(diǎn)A的軌跡Γ的方程；
（2）①當(dāng)A在橢圓與y軸相交的地方，△AF₁F₂的高最大，面積最大，即可求△AF₁F₂的面積的最大值；
②當(dāng)AC⊥F₁F₂時，存在除A、C外的兩點(diǎn)S、T關(guān)于直線m對稱，證明AC與F₁F₂不垂直時，不存在除A、C外的兩點(diǎn)S、T關(guān)于直線m對稱即可．

解答： 解：（1）因?yàn)?＞2

3

，所以軌跡是以F₁、F₂為焦點(diǎn)的橢圓，
以線段F₁F₂的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以F₁F₂所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，
可得動點(diǎn)A的軌跡Γ的方程為

x2

4

+y2=1；
（2）①由題意，|F₁F₂|=2

3

，當(dāng)A在橢圓與y軸相交的地方，△AF₁F₂的高最大，面積最大，
∴△AF₁F₂的面積的最大值為

1

2

•2

3

•1=

3

；
②當(dāng)AC⊥F₁F₂時，存在除A、C外的兩點(diǎn)S、T關(guān)于直線m對稱，
下面證明AC與F₁F₂不垂直時，不存在除A、C外的兩點(diǎn)S、T關(guān)于直線m對稱．
假設(shè)存在這樣的兩個不同的點(diǎn)S（x₃，y₃），T（x₄，y₄），
設(shè)ST的中點(diǎn)為H（m，n），則k_OH•k_ST=-

1

4

，k_OMk_AC=-

1

4

，
∴k_OH=k_OM=-

1

4k

，
∴直線m過原點(diǎn)，斜率為-

1

4k

≠-

1

k

∴假設(shè)不成立，
∴AC與F₁F₂不垂直時，不存在除A、C外的兩點(diǎn)S、T關(guān)于直線m對稱．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的定義與方程，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．