Question

已知函數(shù)f（x）=2^x+2^ax+b，且f（1）=、f（2）=．
（1）求a、b的值；（2）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（3）先判斷并證明函數(shù)f（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性，然后求f（x）的值域．

Answer 1

解：（1）由得
解得；
（2）∵f（x）=2^x+2^-x，f（x）的定義域?yàn)镽，
由f（-x）=2^-x+2^x=f（x），
所以f（x）為偶函數(shù)．
（3）f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)．證明如下：
設(shè)x₁＜x₂，且x₁，x₂∈[0，+∞）
==
因?yàn)閤₁＜x₂且x₁，x₂∈[0，+∞）
所以，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0
所以f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)．
∴f（x）≥f（0）=2
f（x）的值域?yàn)閇2，+∞）
分析：（1）由f（1）=、f（2）=列方程組，解這個(gè)指數(shù)方程組即可得a、b的值；（2）先求函數(shù)的解析式，在求函數(shù)的定義域，最后利用函數(shù)奇偶性的定義證明函數(shù)的奇偶性；（3）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，通過(guò)設(shè)變量，作差比較函數(shù)值的大小證明函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域即可
點(diǎn)評(píng)：本題考查了指數(shù)方程的解法，函數(shù)解析式的求法，函數(shù)的奇偶性定義及其判斷方法，函數(shù)單調(diào)性定義和證明方法，利用單調(diào)性求函數(shù)值域的方法