Question

9．直角三角形ABC中，A=90°，B=60°，B，C為雙曲線E的兩個焦點，點A在雙曲線E上，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{3}+1$
• B． $\sqrt{2}+1$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)直角三角形的邊角關系，以及雙曲線的定義和性質，建立方程關系求出a，c的關系進行求解即可．

解答 解：不妨設雙曲線方程為$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0），
設A在雙曲線右支上，
∵A=90°，B=60°，
∴C=30°，
則BC=2c，則AB=$\frac{1}{2}$BC=c，
則AC=$\sqrt{3}$c，
∵AC-AB=2a，
∴$\sqrt{3}$c-c=2a，即（$\sqrt{3}$-1）c=2a，
即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$=$\frac{2（\sqrt{3}+1）}{（\sqrt{3}+1）（\sqrt{3}-1）}$=$\frac{2（\sqrt{3}+1）}{2}$=$\sqrt{3}+1$，
故選：A

點評 本題主要考查雙曲線離心率的計算，根據(jù)雙曲線的性質，結合三角形的邊角關系建立方程關系是解決本題的關鍵．