正三棱錐V—ABC的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為3，過(guò)底面AB邊的截面交側(cè)棱VC于P．

(1)若P為VC的中點(diǎn)，求截面PAB的面積；

(2)求截面PAB的面積的最大值．

 

答案：
解析：

解：(1)∵四面體V—ABC為正三棱錐，

∴V在平面ABC上的射影O為△ABC的中心．連結(jié)OC并延長(zhǎng)CO交AB于D，連結(jié)DP，則有CD⊥AB．由VO⊥面ABC．

∴AB⊥面VOC，∴AB⊥DP．

在Rt△VOC中，可求OC=．

cosPCO=OC∶VC=∶3=．

由P為VC的中點(diǎn)，根據(jù)余弦定理得

PD2=PC2＋CD2-2PC·CD·cosPCO

=()2＋(·2)2-2··（·2）·cosPCO=．

S△PAB=·AB·PD=．

(2)由(1)知，VC上任一點(diǎn)P與AB的中點(diǎn)D的連線都是△APB的高，設(shè)PC=x(0<x<3)．

∴PD2=PC2＋CD2-2PC·CD·cosPCD

=x2＋3-2·x··=x2-x＋3．

∴S△APB=AB·PD

=≤．

∴(S△APB)max=．

點(diǎn)評(píng)：對(duì)正棱錐的問(wèn)題，應(yīng)充分利用正棱錐的性質(zhì)．求截面ABP面積的最小值，也可直接求D到VC的距離，作△ABP的高DP，此時(shí)△ABP的面積最小．

 


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精英家教網(wǎng)已知正三棱錐V-ABC的主視圖，俯視圖如圖所示，其中VA=4，AC=2
3
，則該三棱錐的左視圖的面積為（　�。�
A、9
B、6
C、3
3
D、
39

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖是正三棱錐V-ABC的主視圖，俯視圖，根據(jù)圖中尺寸，則該三棱錐的側(cè)視圖面積為（　�。�
A、9
B、6
C、
3
2
13
D、
39

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

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3
的正三棱錐V-ABC的外接球的球心為O，滿足
OA
+
OB
+
OC
=
0
，則該三棱錐外接球的體積為
16
3
π
16
3
π
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2006•西城區(qū)一模）設(shè)正三棱錐V-ABC的底邊長(zhǎng)為2
3
，高為2，則側(cè)棱與底面所成角的大小為（　�。�

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（2010•汕頭模擬）已知正三棱錐V-ABC的主視圖、俯視圖如下圖所示，其中VA=4，AC=2
3
，則該三棱錐的左視圖的面積為
6
6
．

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