Question

3．己知圓C：x²-2x+y²-4y-20=0．直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）
（1）證明不論m取什么實(shí)數(shù)，直l與圓恒相交；
（2）求直線l被圓C截得的線段最短長度以及此時(shí)直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）只要證明直線l恒過的定點(diǎn)在圓內(nèi)即可；
（2）結(jié)合圖象分析可得CA與直線l垂直時(shí)l被圓截得的線段最短，求得此時(shí)的方程即可．

解答 解：（1）直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0 即 （x+y-4）+m（2x+y-7）=0，由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{2x+y-7=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，故直線過定點(diǎn)M（3，1）．
再由圓C：x2+y2-2x-4y-20=0，即 （x-1）2+（y-2）2=25，表示以C（1，2）為圓心，以5為半徑的圓，而|MC|=$\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$小于半徑，
故點(diǎn)M在圓內(nèi)，故直線和圓相交．
故不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓恒相交；
（2）如圖，

當(dāng)CM和直線l垂直時(shí)，弦長L最小，為2$\sqrt{25-5}$=$4\sqrt{5}$，
當(dāng)弦長L最小時(shí)，CM的斜率為${K}_{CM}=\frac{1-2}{3-1}=-\frac{1}{2}$，所以直線l的斜率為2，故直線l的方程為 y-1=2（x-3），即 2x-y-5=0．
故直線l的方程為2x-y-5=0．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于直線和圓的位置關(guān)系問題，以及弦長問題，可以結(jié)合圖象，數(shù)形結(jié)合，分析題目所給條件求解即可．