是否存在常數(shù)a、b、c使等式12+22+32+…+n2+（n-1）2+…+22+12=an（bn2+c）對于一切n∈N*都成立，若存在，求出a、b、c并證明；若不存在，試說明理由.


解析:

假設(shè)存在a、b、c使

12+22+32+…+n2+（n-1）2+…+22+12=an（bn2+c）

對于一切n∈N*都成立.

當(dāng)n=1時，a（b+c）=1；

當(dāng)n=2時，2a（4b+c）=6；

當(dāng)n=3時，3a（9b+c）=19.

解方程組  解得

證明如下：

①當(dāng)n=1時，由以上知存在常數(shù)a,b,c使等式成立.

②假設(shè)n=k（k∈N*）時等式成立，

即12+22+32+…+k2+（k-1）2+…+22+12

=k（2k2+1）；

當(dāng)n=k+1時，

12+22+32+…+k2+（k+1）2+k2+（k-1）2+…+22+12

=k（2k2+1）+（k+1）2+k2

=k（2k2+3k+1）+（k+1）2

=k（2k+1）（k+1）+（k+1）2

=（k+1）（2k2+4k+3）

=（k+1）［2（k+1）2+1］.

即n=k+1時，等式成立.

因此存在a=，b=2，c=1，使等式對一切n∈N*都成立.

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3
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π
2
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