Question

【題目】如圖，在三棱錐中， ， ， 為的中點(diǎn)， 為的中點(diǎn)，且為正三角形.

（1）求證： 平面；

（2）若，三棱錐的體積為1，求點(diǎn)到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）．

【解析】試題分析：

(1)由題意結(jié)合幾何關(guān)系可證得，結(jié)合線面垂直的判斷定理即可證得平面；

(2)設(shè),結(jié)合體積公式計(jì)算可得，利用體積相等列方程可得點(diǎn)到平面的距離為．

試題解析：

（1）證明：在正中， 是的中點(diǎn)，所以．

因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)， 是的中點(diǎn)，所以，故．

又， ， 平面，

所以平面．

因?yàn)?/span>平面，所以．

又平面，

所以平面．

（2）設(shè),則

三棱錐的體積為，得x=2

設(shè)點(diǎn)到平面的距離為． 因?yàn)?/span>為正三角形，所以 ．

因?yàn)?/span>，所以．

所以．

因?yàn)?/span>，由（1）知，所以．

在中， ，所以．

因?yàn)?/span>，

所以，即．

所以．故點(diǎn)到平面的距離為．