Question

函數(shù)f（x）=log_a（a^x-1）（a＞0，且a≠1）
（1）求f（x）的定義域；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求f（x）＞1的解集．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）由對數(shù)的定義可得，a^x-1＞0，討論a＞1，0＜a＜1，運用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得到定義域；
（2）令t=a^x-1，則y=log_at，討論a＞1，0＜a＜1函數(shù)的單調(diào)性，注意運用復合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減，即可得到單調(diào)區(qū)間；
（3）討論a＞1，0＜a＜1，運用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得到解集．

解答： 解：（1）由對數(shù)的定義可得，a^x-1＞0，
當a＞1時，a^x＞1解得，x＞0；當0＜a＜1時，a^x＞1解得x＜0．
則a＞1的定義域為（0，+∞），0＜a＜1的定義域為（-∞，0）；
（2）令t=a^x-1，則y=log_at，
當a＞1時，t在x＞0上遞增，y在t＞0上，則函數(shù)的增區(qū)間為（0，+∞）；
當0＜a＜1時，t在x＜0上遞減，y在t＞0上遞減，則函數(shù)的增區(qū)間為（-∞，0）
故函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，0）（0＜a＜1），（0，+∞）（a＞1）；
（3）f（x）＞1即為log_a（a^x-1）＞1．
當a＞1時，log_a（a^x-1）＞a⁰，即有a^x-1＞0，解得x＞0；
當0＜a＜1時，log_a（a^x-1）＞1，即有a^x-1＜0，解得，x＞0．
故解集為（0，+∞）．

點評：本題考查指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的定義域和值域，以及單調(diào)性，考查運算能力，以及分類討論的思想方法，屬于中檔題．