Question

已知橢圓中心在原點，焦點在y軸上，離心率為

3

3

，以原點為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線y=x+2相切．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設點F是橢圓在y軸正半軸上的一個焦點，點A，B是拋物線x²=4y上的兩個動點，且滿足

AF

=λ

FB

 (λ＞0)，過點A，B分別作拋物線的兩條切線，設兩切線的交點為M，試推斷

FM

•

AB

是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要求橢圓方程，只需找到含a，b，c的3個等式即可，因為橢圓中心在原點，焦點在y軸上，可設橢圓方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），由離心率為

3

3

，可得

c

a

=

3

3

，由以原點為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線y=x+2相切可得b=

2

1+1

=

2

，再由a²=b²+c²，可求出a，b，c，進而求出橢圓的標準方程．
（Ⅱ）先設出A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由

AF

=λ

FB

，得A，B坐標關系，再利用導數(shù)求過A，B 點的切線方程，聯(lián)立求交點M坐標，計算

FM

•

AB

的值，如能求出，則存在，如不能求出，則不存在．

解答：解：（Ⅰ）設橢圓方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）．（1分）
因為e=

3

3

，得

b2

a2

=

2

3

．又b=

2

1+1

=

2

，則b²=2，a²=3．
故橢圓的標準方程是

y2

3

+

x2

2

=1．
（Ⅱ）由橢圓方程知，c=1，所以焦點F（0，1），設點
由

AF

=λ

FB

，得（-x₁，1-y₁）=λ（x₂，y₂-1），所以-x₁=λx₂，1-y₁=λ（y₂-1）．
于是x₁²=λ²x₂²．因為x₁²=4y₁，x₂²=4y₂，則y₁=λ²y₂．
聯(lián)立y₁=λ²y₂和1-y₁=λ（y₂-1），得y₁=λ，y₂=

1

λ

．
因為拋物線方程為y=

1

4

x²，求導得y′=

1

2

x．設過拋物線上的點A、B的切線分別為l₁，l₂，則
直線l₁的方程是y=

1

2

x₁（x-x₁）+y₁，即y=

1

2

x₁x-

1

4

x₁²．
直線l₂的方程是y=

1

2

x₂（x-x₂）+y₂，即y=

1

2

x₂x-

1

4

x₂²．
聯(lián)立l₁和l₂的方程解得交點M的坐標為(

x1+x2

2

，

x1x2

4

)．
因為x₁x₂=-λx₂²=-4λy₂=-4．所以點M(

x1+x2

2

，-1)．
于是

FM

=(

x1+x2

2

，-2)，

AB

=（x₂-x₁，y₂-y₁）．
所以

FM

•

AB

=

x 2 2 - x 2 1

2

-2(y2-y1)=

1

2

（x₂²-x₁²）-2（

1

4

x₂²-

1

4

x₁²）=0．
故

F2M

•

AB

為定值0．

點評：本題考查橢圓方程的求法，以及直線與橢圓關系的判斷，題型有代表性，認真解答．