Question

（2013•寧德模擬）已知曲線f（x）=x³+bx²+cx在點(diǎn)我A（-1，f（-1）），B（3，f（3））處的切線互相平行，且函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)為x=0．
（I）求實(shí)數(shù)b，c的值；
（II ）若函數(shù)y=f（x）（x∈[-

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，3]）的圖象與直線y=m恰有三個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（III）若存在x₀∈[1，e]（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…），使得

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f′（x₀）+alnx₀≤ax₀成立（其中f′（x）為函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由曲線在A、B兩點(diǎn)處的切線互相平行，則函數(shù)在x=-1和x=3時(shí)的導(dǎo)數(shù)相等，再由0是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，則x=0時(shí)的導(dǎo)數(shù)是0，聯(lián)立方程組即可解得實(shí)數(shù)b，c的值；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)分析出原函數(shù)在[-

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，3]內(nèi)的單調(diào)區(qū)間，找出函數(shù)在（-

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，3）上的極值點(diǎn)，求出極值，把極值和端點(diǎn)處的函數(shù)值比較后，根據(jù)函數(shù)y=f（x）的圖象與y=m恰有三個(gè)交點(diǎn)即可得到實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）存在x₀∈[1，e]，使得

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f′（x₀）+alnx₀≤ax₀成立，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)=

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x2+alnx-(a+1)x在[1，e]上的最小值小于等于0，求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)，通過(guò)對(duì)a分類求解函數(shù)g（x）在[1，e]上的最小值，由最小值小于等于0求解實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=x³+bx²+cx，得f^′（x）=3x²=2bx+c，
∵曲線f（x）=x³+bx²+cx在點(diǎn)A（-1，f（-1）），B（3，f（3））處的切線互相平行，且函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)為x=0，
∴

f′(-1)=f′(3) f′(0)=0

，即

3-2b+c=27+6b+c c=0

，解得：

b=-3 c=0

．
∴實(shí)數(shù)b，c的值分別為-3，0；
（Ⅱ）由f（x）=x³-3x²，∴f^′（x）=3x²-6x，
由f^′（x）＞0，得x＜0或x＞2，由f^′（x）＜0，得0＜x＜2．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

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，0)，（2，3]上遞增，在（0，2）上遞減．
且f(-

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)=(-

1

2

)3-3×(-

1

2

)2=-

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，f（0）=0，f（2）=2³-3×2²=-4，f（3）=3³-3×3²=0．
∴函數(shù)y=f（x）（x∈[-

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，3]）的圖象與直線y=m恰有三個(gè)交點(diǎn)，則-

7

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≤m＜0．
故所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-

7

8

，0)．
（Ⅲ）依題意知存在x₀∈[1，e]，使得

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f′（x₀）+alnx₀≤ax₀成立，即

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2

x02-x0+alnx0≤ax0成立，
設(shè)g(x)=

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2

x2+alnx-(a+1)x，則g（x）_min≤0，
g′(x)=x+

a

x

-(a+1)=

(x-1)(x-a)

x

，
①當(dāng)a≤1時(shí)，由x∈（1，e），g^′（x）＞0，得函數(shù)g（x）在[1，e]上遞增，
∴g(x)min=g(1)=

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2

-(a+1)≤0，得-

1

2

≤a≤1．
②當(dāng)1＜a＜e時(shí)，可知在（1，a）上g^′（x）0，
得函數(shù)g（x）在（1，a）上遞減，在（a，e）上遞增，
∴g(x)min=g(a)=-

1

2

a2+alna-a≤0恒成立，∴1＜a＜e．
③當(dāng)a≥e時(shí)，在x∈（1，e）上g^′（x）＜0，∴函數(shù)g（x）在[1，e]上遞減，
∴g(x)min=g(e)=-

1

2

e2+a-ae-e≤0，∴a≥

e2-2e

2(e-1)

，又

e2-2e

2(e-1)

＜e，
∴a≥e．
綜上可知：a≥-

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2

．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-

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2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，考查了函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，此題的難點(diǎn)在于把存在x₀∈[1，e]，使得

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f′（x₀）+alnx₀≤ax₀成立轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)的最小值小于等于0，考查了學(xué)生靈活分析和處理問(wèn)題的能力．此題屬難題．