Question

已知函數(shù)()

（1）當a=2時，求在區(qū)間[e，e2]上的最大值和最小值；

(2)如果函數(shù)、、在公共定義域D上，滿足<<，那么就稱為、的“伴隨函數(shù)”．已知函數(shù)，，若在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)是、的“伴隨函數(shù)”，求a的取值范圍。

 

Answer 1

（1）的最大值為f（e2）=4e4+lne2=2+4e4，最小值為f（e）=2e2+lne=1+2e2；

（2）．

【解析】

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、恒成立問題等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力．第一問，對求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)遞增，則在區(qū)間2個端點處取得最大值和最小值；第二問，由新定義將題目轉(zhuǎn)化為，在（1，+∞）上恒成立，對求導(dǎo)，對的根進行討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出最大值，令最大值小于0，同理，對求導(dǎo)，求最大值，需要注意如果最大值能夠取到，則最大值小于0，若最大值取不到，則最大值小于等于0．

（1）當a=2時，，則

當x∈[e，e2]時，，即此時函數(shù)單調(diào)遞增，

∴的最大值為f（e2）=4e4+lne2=2+4e4，最小值為f（e）=2e2+lne=1+2e2． 4分

（2）若在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)是、的“伴隨函數(shù)”，

即<<，令在（1，+∞）上恒成立，在（1，+∞）上恒成立，

因為

①若，由得

當，即時，在（x2，+∞）上，有，此時函數(shù)單調(diào)遞增，并且在該區(qū)間上有，不合題意．

當x2＜x1=1，即a≥1時，同理可知在區(qū)間（1，+∞）上，有，不合題意．

②若a≤，則有2a 1≤0，此時在區(qū)間（1，+∞）上，有p'（x）＜0，此時函數(shù)p（x）單調(diào)遞減，要使p（x）＜0恒成立，只需要滿足，即可

此時， 9分

又，則h（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，則h（x）＜h（1）=，所以 11分

即a的取值范圍是。 12分

考點：導(dǎo)數(shù)的運算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、恒成立問題．