Question

已知曲線C:4x²-y|y|=1.

(1)若直線l:y=2x+m與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

(2)若直線l:y=kx+1與曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B,且·＜(其中O為原點(diǎn)),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

Answer 1

解:(1)曲線為雙曲線4x²-y²=1的上半部分(含與x軸交點(diǎn))和橢圓4x²+y²=1的下半部分構(gòu)成,圖象如圖所示,

雙曲線漸近線為y=±2x,直線y=2x+m與雙曲線的一條漸近線平行?,

聯(lián)立得4mx+m²+1=0,可得m≠0時(shí),直線與完整的雙曲線只能有一個(gè)交點(diǎn);

聯(lián)立得8x²+4mx+m²-1=0,由Δ=0解得m=-2時(shí)直線與橢圓下半部分相切;

綜上可得:當(dāng)m≥1時(shí),直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn);當(dāng)0≤m＜1時(shí),直線只與橢圓有一個(gè)交點(diǎn);

當(dāng)-1＜m＜0時(shí),直線與雙曲線和橢圓各有一個(gè)交點(diǎn);當(dāng)-＜m≤-1時(shí),直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn);

當(dāng)m=-時(shí),直線只與橢圓有一個(gè)交點(diǎn).所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為m=-或m≥0.

(2)直線l:y=kx+1與曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B,由題可得只能交雙曲線上半部分于A和B兩點(diǎn).

聯(lián)立l:y=kx+1與4x²-y²=1可得(4-k²)x²-2kx-2=0,設(shè)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),由題可得-2＜k＜2,

又y₁y₂=k²x₁x₂+k(x₁+x₂)+1=1,由·＜可得x₁x₂+y₁y₂＜,解得k²＞1,所以-2＜k＜-1或1＜k＜2.