分析 (1)先求導(dǎo),再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可期初a,b的值,再根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系即可求出,
(2)由f(x1)=f(x2),得得2−1π(x1+x2)+cosx1−cosx2x1−x2=0,令x1+x2=2x0,構(gòu)造函數(shù)h(x)=sinxx,求導(dǎo)得到函數(shù)的最值,即可證明.
解答 解:(1)由題意:f'(x)=2+2ax-bsinx,所以{f′(π2)=0f(π2)=3π4,解得{a=−1πb=1,
故f(x)=2x−1πx2+cosx,f′(x)=2−2πx−sinx,
當(dāng)0<x<π2時,f'(x)為減函數(shù),且f′(π2)=0,f′(x)>0,f(x)為增函數(shù),
當(dāng)π2<x<π時,f″(x)=−2π−cosx為增函數(shù),
且f″(π2)=−2π<0,f″(π)=1−2π>0,
故存在唯一m使f(m)=0,
所以f'(x)在(π2,m)上為減函數(shù),在(m,π)上為增函數(shù),
又因為f′(π2)=0,f′(π)=0,
所以π2<x<π時,f'(x)<0,f(x)為減函數(shù),
綜上可知:x∈[0,π2]時,f(x)為增函數(shù);x∈[π2,π]時,f(x)為減函數(shù),
(2)由f(x1)=f(x2),得2x1−x21π+cosx1=2x2−x22π+cosx2,
所以2(x1−x2)−1π(x1+x2)(x1−x2)+cosx1−cosx2=0,
兩邊同除以x1-x2,得2−1π(x1+x2)+cosx1−cosx2x1−x2=0,
令x1+x2=2x0,則2−2πx0+−2sinx1+x22sinx1−x22x1−x2=0,
所以2−2πx0−2sinx0sinx1−x22x1−x2=0,
得2−2πx0=2sinx0sinx1−x22x1−x2,
因為f′(x)=2−2xπ−sinx,
所以f′(x0)=2−2x0π−sinx0=2sinx0sinx1−x22x1−x2−sinx0=sinx0•(sinx1−x22x1−x22−1),
令x=x2−x12,x∈(0,π),h(x)=sinxx,
則h′(x)=xcosx−sinxx,
當(dāng)0<x<π2時,h'(x)<0,h(x)為減函數(shù),
當(dāng)π2<x<π時,h'(x)<0,h(x)為減函數(shù),
所以h(0)→1,(也可以利用斜率),
所以h(x)<1,sinx1−x22x1−x22−1<0,
又x0∈(0,π),所以sinx0>0,
故f'(x0)<0,
故:f′(x1+x22)<0.
點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義和導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值和單調(diào)性的關(guān)系,以及不等式恒成立的問題,考查了學(xué)生的運算能力,化歸能力,屬于難題.
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A. | 1 | B. | 3 | C. | 6 | D. | 9 |
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