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4.已知函數(shù)f(x)=2x+ax2+bcosx函數(shù)在點({\frac{π}{2},f({\frac{π}{2}})})處的切線為y=\frac{3π}{4}
(1)求函數(shù)a,b的值,并求出f(x)在[0,π]上的單調(diào)區(qū)間;
(2)若f(x1)=f(x2),且0<x1<x2<π,求證:f'({\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}})<0

分析 (1)先求導(dǎo),再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可期初a,b的值,再根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系即可求出,
(2)由f(x1)=f(x2),得得2-\frac{1}{π}({{x_1}+{x_2}})+\frac{{{{cosx}_1}-cos{x_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=0,令x1+x2=2x0,構(gòu)造函數(shù)h(x)=\frac{sinx}{x},求導(dǎo)得到函數(shù)的最值,即可證明.

解答 解:(1)由題意:f'(x)=2+2ax-bsinx,所以\left\{{\begin{array}{l}{f'({\frac{π}{2}})=0}\\{f({\frac{π}{2}})=\frac{3π}{4}}\end{array}}\right.,解得\left\{{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{π}}\\{b=1}\end{array}}\right.
f(x)=2x-\frac{1}{π}{x^2}+cosx,f'(x)=2-\frac{2}{π}x-sinx,
當(dāng)0<x<\frac{π}{2}時,f'(x)為減函數(shù),且f'({\frac{π}{2}})=0,f'(x)>0,f(x)為增函數(shù),
當(dāng)\frac{π}{2}<x<π時,f''(x)=-\frac{2}{π}-cosx為增函數(shù),
f''({\frac{π}{2}})=-\frac{2}{π}<0,f''(π)=1-\frac{2}{π}>0,
故存在唯一m使f(m)=0,
所以f'(x)在({\frac{π}{2},m})上為減函數(shù),在(m,π)上為增函數(shù),
又因為f'({\frac{π}{2}})=0,f'(π)=0
所以\frac{π}{2}<x<π時,f'(x)<0,f(x)為減函數(shù),
綜上可知:x∈[{0,\frac{π}{2}}]時,f(x)為增函數(shù);x∈[{\frac{π}{2},π}]時,f(x)為減函數(shù),
(2)由f(x1)=f(x2),得2{x_1}-\frac{x_1^2}{π}+cos{x_1}=2{x_2}-\frac{x_2^2}{π}+cos{x_2}
所以2({{x_1}-{x_2}})-\frac{1}{π}({{x_1}+{x_2}})({{x_1}-{x_2}})+cos{x_1}-cos{x_2}=0,
兩邊同除以x1-x2,得2-\frac{1}{π}({{x_1}+{x_2}})+\frac{{{{cosx}_1}-cos{x_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=0,
令x1+x2=2x0,則2-\frac{2}{π}{x_0}+\frac{{-2sin\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}sin\frac{{{x_1}-{x_2}}}{2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=0,
所以2-\frac{2}{π}{x_0}-\frac{{2sin{x_0}sin\frac{{{x_1}-{x_2}}}{2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=0,
2-\frac{2}{π}{x_0}=\frac{{2sin{x_0}sin\frac{{{x_1}-{x_2}}}{2}}}{{{x_1}-{x_2}}},
因為f'(x)=2-\frac{2x}{π}-sinx,
所以f'({x_0})=2-\frac{{2{x_0}}}{π}-sin{x_0}=\frac{{2sin{x_0}sin\frac{{{x_1}-{x_2}}}{2}}}{{{x_1}-{x_2}}}-sin{x_0}=sin{x_0}•({\frac{{sin\frac{{{x_1}-{x_2}}}{2}}}{{\frac{{{x_1}-{x_2}}}{2}}}-1})
x=\frac{{{x_2}-{x_1}}}{2},x∈({0,π}),h(x)=\frac{sinx}{x},
h'(x)=\frac{xcosx-sinx}{x},
當(dāng)0<x<\frac{π}{2}時,h'(x)<0,h(x)為減函數(shù),
當(dāng)\frac{π}{2}<x<π時,h'(x)<0,h(x)為減函數(shù),
所以h(0)→1,(也可以利用斜率),
所以h(x)<1,\frac{{sin\frac{{{x_1}-{x_2}}}{2}}}{{\frac{{{x_1}-{x_2}}}{2}}}-1<0,
又x0∈(0,π),所以sinx0>0,
故f'(x0)<0,
故:f'({\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}})<0

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義和導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值和單調(diào)性的關(guān)系,以及不等式恒成立的問題,考查了學(xué)生的運算能力,化歸能力,屬于難題.

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