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4.已知函數(shù)f(x)=2x+ax2+bcosx函數(shù)在點π2fπ2處的切線為y=3π4
(1)求函數(shù)a,b的值,并求出f(x)在[0,π]上的單調(diào)區(qū)間;
(2)若f(x1)=f(x2),且0<x1<x2<π,求證:fx1+x220

分析 (1)先求導(dǎo),再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可期初a,b的值,再根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系即可求出,
(2)由f(x1)=f(x2),得得21πx1+x2+cosx1cosx2x1x2=0,令x1+x2=2x0,構(gòu)造函數(shù)h(x)=sinxx,求導(dǎo)得到函數(shù)的最值,即可證明.

解答 解:(1)由題意:f'(x)=2+2ax-bsinx,所以{fπ2=0fπ2=3π4,解得{a=1πb=1
fx=2x1πx2+cosxfx=22πxsinx,
當(dāng)0xπ2時,f'(x)為減函數(shù),且fπ2=0fx0fx為增函數(shù),
當(dāng)π2xπ時,fx=2πcosx為增函數(shù),
fπ2=2π0fπ=12π0,
故存在唯一m使f(m)=0,
所以f'(x)在π2m上為減函數(shù),在(m,π)上為增函數(shù),
又因為fπ2=0fπ=0
所以π2xπ時,f'(x)<0,f(x)為減函數(shù),
綜上可知:x[0π2]時,f(x)為增函數(shù);x[π2π]時,f(x)為減函數(shù),
(2)由f(x1)=f(x2),得2x1x21π+cosx1=2x2x22π+cosx2
所以2x1x21πx1+x2x1x2+cosx1cosx2=0,
兩邊同除以x1-x2,得21πx1+x2+cosx1cosx2x1x2=0,
令x1+x2=2x0,則22πx0+2sinx1+x22sinx1x22x1x2=0,
所以22πx02sinx0sinx1x22x1x2=0,
22πx0=2sinx0sinx1x22x1x2,
因為fx=22xπsinx,
所以fx0=22x0πsinx0=2sinx0sinx1x22x1x2sinx0=sinx0sinx1x22x1x221
x=x2x12x0πhx=sinxx,
hx=xcosxsinxx,
當(dāng)0xπ2時,h'(x)<0,h(x)為減函數(shù),
當(dāng)π2xπ時,h'(x)<0,h(x)為減函數(shù),
所以h(0)→1,(也可以利用斜率),
所以hx1sinx1x22x1x2210,
又x0∈(0,π),所以sinx0>0,
故f'(x0)<0,
故:fx1+x220

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義和導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值和單調(diào)性的關(guān)系,以及不等式恒成立的問題,考查了學(xué)生的運算能力,化歸能力,屬于難題.

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