Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對于任意x∈R都f（x+6）=f（x）+f（3）成立；當x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂時，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0．給出下列四個命題：
①f（3）=0；
②直線x=-6是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸；
③函數(shù)y=f（x）在[-9，-6]上為增函數(shù)；
④函數(shù)y=f（x）在[0，2014]上有335個零點．
其中正確命題的序號為

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：①中，由題意，令x=-3，求出f（3）=0；
②中，由題意，求出f（x）的周期為6，且滿足f（-6-x）=f（-6+x），得出x=-6是y=f（x）圖象的對稱軸；
③中，由題意，得出y=f（x）在[-3，0]上是減函數(shù)，從而得y=f（x）在[-9，-6]上的單調(diào)性；
④中，由題意，知y=f（x）在[0，6]上只有一個零點3，得出y=f（x）在[0，2014]上的零點數(shù)．

解答： 解：對于①，∵f（x+6）=f（x）+f（3），
∴f（-3+6）=f（-3）+f（3），
又∵f（-3）=f（3），
∴f（3）=f（3）+f（3），
∴f（3）=0，①正確；
對于②，由①知f（x+6）=f （x），∴f（x）的周期為6；
又∵f（x）是R上的偶函數(shù)，∴f（x+6）=f（-x）；
而f（x）的周期為6，∴f（x+6）=f（-6+x），f（-x）=f（-x-6），
∴f（-6-x）=f（-6+x）；
∴直線x=-6是y=f（x）圖象的一條對稱軸，②正確；
對于③，x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂時，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，
即y=f（x）在[0，3]上是增函數(shù)；
∵f（x）是R上的偶函數(shù)，∴y=f（x）在[-3，0]上是減函數(shù)；
又f（x）的周期為6，∴y=f（x）在[-9，-6]上是減函數(shù)，③錯誤；
對于④，f（3）=0，且f（x）的周期為6，
又y=f（x）在[0，3]上為增函數(shù)，在[3，6]上為減函數(shù)，
∴y=f（x）在[0，6]上只有一個零點3，
又2014=335×6+3，
∴y=f（x）在[0，2014]上有335+1=336個零點，④錯誤．
綜上，以上正確的命題是①②．
故答案為：①②．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，周期性與對稱性以及函數(shù)零點的綜合應用問題，是較難的題目．