Question

設(shè)a₁，a₂，…，a_n是各項(xiàng)不為零的n（n≥4）項(xiàng)等差數(shù)列，且公差d≠0．若將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)后，得到的數(shù)列（按原來(lái)順序）是等比數(shù)列，則n的值為：

4

，由所有

a1

d

的值組成的集合為

{-4，1}

．

Answer 1

分析：設(shè)出數(shù)列的公差d，列舉出數(shù)列的各項(xiàng)，討論從第一項(xiàng)開(kāi)始刪去，由得到的數(shù)列為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質(zhì)，列出關(guān)于d與首項(xiàng)的方程，求出方程的解即可得到d的值，根據(jù)d不為0，得到滿(mǎn)足題意的d的值，即可求出滿(mǎn)足題意的n和所有

a1

d

的值組成的集合．

解答：解：設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，
則各項(xiàng)分別為：a₁，a₁+d，a₁+2d，…，a₁+（n-1）d，且a₁≠0，d≠0，
假設(shè)去掉第一項(xiàng)，則有（a₁+d）（a₁+3d）=（a₁+2d）²，解得d=0，不合題意；
去掉第二項(xiàng)，有a₁（a₁+3d）=（a₁+2d）²，
化簡(jiǎn)得：4d²+a₁d=0即d（4d+a₁）=0，
解得d=-

a1

4

，
因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)不為零，
所以數(shù)列不會(huì)出現(xiàn)第五項(xiàng)（a₁+4d=0），
所以數(shù)對(duì) (n，

a1

d

)=（4，-4）；
去掉第三項(xiàng)，有a₁（a₁+3d）=（a₁+d）²，
化簡(jiǎn)得：d²-a₁d=0，
即d（d-a₁）=0，
解得d=a₁，
則此數(shù)列為：a，2a，3a，4a，…此數(shù)列仍然不會(huì)出現(xiàn)第五項(xiàng)，
因?yàn)槌霈F(xiàn)第五項(xiàng)，數(shù)列不為等比數(shù)列，
所以數(shù)對(duì) (n，

a1

d

)=（4，1）；
去掉第四項(xiàng)時(shí)，有a₁（a₁+2d）=（a₁+d）²，
化簡(jiǎn)得：d=0，不合題意；
當(dāng)去掉第五項(xiàng)或更遠(yuǎn)的項(xiàng)時(shí)，
必然出現(xiàn)上述去掉第一項(xiàng)和第四項(xiàng)時(shí)的情況，
即d=0，不合題意．
所以滿(mǎn)足題意的數(shù)對(duì)有兩個(gè)，
組成的集合為{（4，-4），（4，1）}．
故答案為：4，{-4，1}．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)求值，數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．學(xué)生做題時(shí)應(yīng)時(shí)刻注意公差d不為0和各項(xiàng)不為0的條件，要注意分類(lèi)討論思想的應(yīng)用．