Question

2．已知三點A（2，3），B（-1，-1），C（6，k），其中k為常數(shù)．若|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AC}$|，則$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$的夾角的余弦值為0或-$\frac{24}{25}$，．

Answer 1

分析 根據(jù)向量長度相等建立方程關(guān)系求出k的值，結(jié)合向量夾角公式進行求解即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{AB}$=（-3，-4），$\overrightarrow{AC}$=（4，k-3），
則|$\overrightarrow{AB}$|=5，|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{16+（k-3）^{2}}$，
由|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AC}$|得$\sqrt{16+（k-3）^{2}}$=5，
得（k-3）²=9，則k-3=3或k-3=-3，
即k=6或k=0，
若k=6，則C（6，6），$\overrightarrow{AC}$=（4，3），
則cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{-3×4-4×3}{5×5}$=-$\frac{24}{25}$，
若k=0，則C（6，-1），$\overrightarrow{AC}$=（4，-3），
則cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{-3×4-4×（-3）}{5×5}$=0，
故答案為：0或-$\frac{24}{25}$，

點評 本題主要考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，根據(jù)向量長度公式以及夾角公式是解決本題的關(guān)鍵．注意要對k進行分類討論．