Question

已知函數(shù)f(x)=

3

x

(x+a)（x＞0，a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在[1，8]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）化簡f（x）得f(x)=x

4

3

+ax

1

3

，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后令f′（x）=0，解出函數(shù)的極值點(diǎn)，最后根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求解．
（2）由（1）求出f（x）的單調(diào)區(qū)間，已知區(qū)間[1，8]，利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值．

解答：解：（1）f(x)=x

4

3

+ax

1

3

，
故f′(x)=

4

3

x

1

3

+

1

3

ax-

2

3

=

4x+a

3 3 x2

若a≥0，則f'（x）＞0，因此f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
若a＜0，則由f'（x）＞0得x＞-

a

4

，
因此f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是(-

a

4

，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(0，-

a

4

)．

（2）若a≥-4，則f'（x）＞0（x∈[1，8]），因此f（x）在[1，8]上是增函數(shù)．
那么f（x）在x∈[1，8]上的最小值是f（1）=a+1，最大值是f（8）=2a+16；
若a≤-32，則f'（x）＜0（x∈[1，8]），因此f（x）在[1，8]上是減函數(shù)．
那么f（x）在x∈[1，8]上的最小值是f（8）=2a+16，最大值是f（1）=a+1．
若-32＜a＜-4，則

所以f（x）在x∈[1，8]上的最小值是f(-

a

4

)=

3

4

a

3	- a 4

，
當(dāng)f（1）=a+1≥f（8）=2a+16，
即-32＜a≤-15時，最大值是a+1；當(dāng)-15＜a＜-4時，最大值是2a+16．

點(diǎn)評：此題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，需要掌握并會熟練運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性．