如圖，已知四邊形ABCD為正方形，EA⊥平面ABCD，CF∥EA，且EA=
2
AB=2CF=2
（1）求證：EC⊥平面BDF；
（2）求二面角E-BD-F的余弦值．
考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定
專題：空間位置關(guān)系與距離
分析：（1）以點A為坐標(biāo)原點，AD所在的直線為x軸，AB所在直線為y軸，AE所在直線為z軸建立直角坐標(biāo)系，只要證明
EC
•
BD
=0，
EC
•
BF
=0，即可證明EC⊥平面BDF；
（2）由（1）知向量
EC
為平面BDF的法向量，設(shè)平面EBD的法向量為
n
=(x，y，z)，利用
n
•
BD
=0
n
•
ED
=0
，即可得出，再利用向量的夾角公式即可得出．
解答： （1）證明：以點A為坐標(biāo)原點，AD所在的直線為x軸，AB所在直線為y軸，AE所在直線為z軸建立直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），B（0，
2
，0），D（-
2
，0，0），C（-
2
，
2
，0），F(xiàn)(-
2
，
2
，1)，E（0，0，2），
∴
BD
=(-
2
，-
2
，0)，
BF
=(-
2
，0，1)，
EC
=(-
2
，
2
，-2)，
從而有
EC
•
BD
=0，
EC
•
BF
=0，
∴EC⊥BD，EC⊥BF，
又∵BD∩BF=B，從而EC⊥面BDF．
（2）解：由（1）知向量
EC
為平面BDF的法向量，
設(shè)平面EBD的法向量為
n
=(x，y，z)，
則
n
•
BD
=0
n
•
ED
=0
，即
-
2
x-
2
y=0
-
2
x-2z=0
；
令z=1得x=-
2
，y=
2
，
故 cos＜
n
，
EC
＞=
n
•
EC
|
n
|•|
EC
|
=
2
2
10
=
10
10
，
∴二面角E-BD-F的余弦值為
10
10
．
點評：本題考查了向量相互垂直與數(shù)量積的關(guān)系證明線面垂直、利用法向量的夾角求出二面角的方法，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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已知角θ終邊過點P（-4，4），求sinθ，cosθ，tanθ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：對任意n∈N*均有an+1=pan+3p-3（p為常數(shù)，p≠0且p≠1），若a2，a3，a4，a5∈{-19，-7，-3，5，10，29}，寫出一個滿足條件的a1的值為
 
．

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如圖，已知五面體ABCDE，其中△ABC內(nèi)接于圓O，AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，且DC⊥平面ABC．
（Ⅰ）證明：AD⊥BC
（Ⅱ）若AB=4，BC=2，且二面角A-BD-C所成角θ的正切值是2，試求該幾何體ABCDE的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

過雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的右焦點F（2，0）作其中一條漸近線的垂線，垂直為E，O為坐標(biāo)原點，當(dāng)△OEF的面積最大時，雙曲線的離心率等于（　�。�
A、
2
B、
3
C、2
D、3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點，F(xiàn)2是拋物線C2：y2=2px（p＞0）的焦點，P（
2
3
，m）是C1與C2在第一象限的交點，且|PF2|=
5
3
．
（Ⅰ）求C1與C2的方程；
（Ⅱ）過F2的直線交橢圓于M，N兩點，T為直線x=4上任意一點，且T不在x軸上．
（i）求
F2M
•
F2N
的取值范圍；
（ii）若OT恰好一部分線段MN，證明：TF2⊥MN．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左焦點為F，過點F作與x軸垂直的直線l交兩條漸近線于M，N兩點，且與雙曲線在第二象限的交點為P，設(shè)O為坐標(biāo)原點，若
OP
=m
OM
+n
ON
（m，n∈R），且mn=
1
8
，則雙曲線的離心率為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義域為R的函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=2f（x）-2，當(dāng)x∈（0，2]時，f（x）=
x2-x，x∈(0，1)
1
x
，x∈[1，2]
，若x∈（0，4]時，t2-
7t
2
≤f（x）恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是（　�。�
A、[1，2]
B、[2，
5
2
]
C、[1，
5
2
]
D、[2，+∞）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線的頂點在原點，并經(jīng)過點Q（
3
2
，-4），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程．

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同步練習(xí)冊答案