Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為C的左右焦點，|F₁F₂|=2

3

，且離心率e=

3

2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設過橢圓右焦點F₂的直線l和橢圓交于兩點A，B，是否存在直線l，使得△OAF₂與△OBF₂的面積比值為2？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用焦距概念和離心率公式，從而求出參數(shù)a、b、c，得到橢圓的方程；
（2）假設存在，將條件中的面積比轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系，得到兩點縱坐關(guān)系，再通過直線和橢圓聯(lián)立方程組，得到兩點的縱坐標關(guān)系，從而求出參數(shù)k，得到直線l的方程，說明其存在性．

解答： 解：（1）由于|F₁F₂|=2

3

，且離心率e=

3

2

，
則c=

3

，

c

a

=

3

2

，即有a=2，b=

a2-c2

=1，
則橢圓方程為

x2

4

+y²=1；

（2）假設存在直線l，使得△OAF₂與△OBF₂的面積比值為2．
則∵△OAF₂與△OBF₂的面積比值為2，
∴由三角形的面積公式可得，AF₂：BF₂=2，
則

AF2

=2

F2B

，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則（

3

-x₁，-y₁）=2（x₂-

3

，y₂），
∴y₁=-2y₂   ①
設直線l的方程為x=ky+

3

，
由

x2+4y2=4 x=ky+ 3

，得到（k²+4）y²+2

3

ky-1=0，
則y₁+y₂=-

2 3 k

k2+4

  ②
y₁y₂=-

1

4+k2

   ③
由①②③得k=±

2 23

23

，
因此存在直線l：x=±

2 23

23

y+

3

，
使得△OAF₂與△OBF₂的面積比值為2．

點評：本題考查了三角形面積公式、橢圓的焦距和離心率公式、韋達定理，以及化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，有一定的探索性，屬于中檔題．