Question

（2014•蘭州一模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中點．
（I）求證：平面EAC⊥平面PBC；
（II）若二面角P-A C-E的余弦值為

6

3

，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明平面EAC⊥平面PBC，只需證明AC⊥平面PBC，即證AC⊥PC，AC⊥BC；
（Ⅱ）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點與向量，求出面PAC的法向量

m

=（1，-1，0），面EAC的法向量

n

=（a，-a，-2），利用二面角P-A C-E的余弦值為

6

3

，可求a的值，從而可求

n

=（2，-2，-2），

PA

=（1，1，-2），即可求得直線PA與平面EAC所成角的正弦值．

解答：（Ⅰ）證明：∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PC，
∵AB=2，AD=CD=2，∴AC=BC=

2

，
∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC，
又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，
∵AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…（4分）
（Ⅱ）如圖，以C為原點，取AB中點F，

CF

、

CD

、

CP

分別為x軸、y軸、z軸正向，建立空間直角坐標(biāo)系，則C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，-1，0）．
設(shè)P（0，0，a）（a＞0），則E（

1

2

，-

1

2

，

a

2

），…（6分）

CA

=（1，1，0），

CP

=（0，0，a），

CE

=（

1

2

，-

1

2

，

a

2

），
取

m

=（1，-1，0），則

m

•

CA

=

m

•

CP

=0，

m

為面PAC的法向量．
設(shè)

n

=（x，y，z）為面EAC的法向量，則

n

•

CA

=

n

•

CE

=0，
即

x+y=0 x-y+az=0

取x=a，y=-a，z=-2，則

n

=（a，-a，-2），
依題意，|cos＜

m

，

n

＞|=

m  • n

| m || n |

=

a

a2+2

=

6

3

，則a=2．…（10分）
于是

n

=（2，-2，-2），

PA

=（1，1，-2）．
設(shè)直線PA與平面EAC所成角為θ，則sinθ=|cos＜

PA

，

n

＞|=

PA • n

| PA | | n |

=

2

3

，
即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為

2

3

．…（12分）

點評：本題考查面面垂直，考查線面角，解題的關(guān)鍵是掌握面面垂直的判定，利用向量的方法研究線面角，屬于中檔題．