Question

11．已知f（x）=x²+mx+1，使不等式f（x）≥3對任意的m∈[-1，1]恒成立的實數x的取值范圍為（-∞，-2]∪[2，+∞）．

Answer 1

分析 把已知取值范圍的變量作為主元，把要求取值范圍的變量看作參數，從而求解實數x的取值范圍．

解答 解：函數f（x）=x²+mx+1，
∵不等式f（x）≥3，即x²+mx-2≥0對任意的m∈[-1，1]恒成立．
令f（m）=mx+x²-2，當m∈[-1，1]時，f（m）≥0恒成立．
需滿足：$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）≥0}\\{f（1）≥0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-2≥0}\\{{x}^{2}+x-2≥0}\end{array}\right.$，
解得：x≥2或x≤-2
所以實數x的取值范圍為（-∞，-2]∪[2，+∞）．
故答案為：（-∞，-2]∪[2，+∞）．

點評 本題主要考查了函數恒成立問題的求解，把已知取值范圍的變量作為主元，把要求取值范圍的變量看作參數的轉化思想的應用，屬于中檔題．