Question

已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x²-2x-3．
（1）求f（x）在R上的解析式；
（2）畫(huà)出函數(shù)y=f（x）圖象的示意圖；
（3）根據(jù)圖象寫(xiě)出函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增（減）區(qū)間（不需要證明）．

Answer 1

分析：（1）只需求出x≤0時(shí)的表達(dá)式即可，設(shè)x＜0，則-x＞0，由x＞0時(shí)，f（x）=x²-2x-3，可求f（-x），再根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)可求出f（x），及f（0）．
（2）根據(jù)各段函數(shù)特征依次畫(huà)出即可．
（3）觀察圖象，從左向右呈上升趨勢(shì)為增函數(shù)，呈下降趨勢(shì)則為減函數(shù)，依此可寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（1）當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，∴f（-x）=x²+2x-3，
又∵f（x）是奇函數(shù)∴f（x）=-f（-x）=-x²-2x+3，
∴f（x）=-x²-2x+3，
當(dāng)x=0時(shí)，f（-0）=-f（0），即f（0）=0．
所以f（x）=

x2-2x-3，x＞0 0，x=0 -x2-2x+3，x＜0

．
（2）函數(shù)y=f（x）的示意圖如下：
     
（3）單調(diào)遞增區(qū)間為：（-∞，-1），（1，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為：（-1，0），（0，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用、單調(diào)性與圖象作法，屬基礎(chǔ)知識(shí)，難度一般．