已知函數(shù)f(x)=
x
a
+
a-1
x
(a≠0且a≠1).
(Ⅰ)試就實(shí)數(shù)a的不同取值,寫出該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)已知當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)在(0,
6
)
上單調(diào)遞減,在(
6
,+∞)
上單調(diào)遞增,求a的值并寫出函數(shù)F(x)=
3
f(x)
的解析式;
(Ⅲ)記(Ⅱ)中的函數(shù)F(x)=
3
f(x)
的圖象為曲線C,試問是否存在經(jīng)過原點(diǎn)的直線l,使得l為曲線C的對(duì)稱軸?若存在,求出l的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.
分析:(1)對(duì)函數(shù)f(x)進(jìn)行求導(dǎo),令導(dǎo)函數(shù)大于0根據(jù)a的不同值求出x的范圍.
(2)令f'(
6
)=0求出a即可得到答案.
(3)假設(shè)存在且設(shè)直線方程y=kx,根據(jù)點(diǎn)的對(duì)稱求出直線斜率即可得到答案.
解答:解:(Ⅰ)由題設(shè)知:f′(x)=
1
a
-
a-1
x2
=
x2-a(a-1)
ax2

①當(dāng)a<0時(shí),函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-
a(a-1)
,0)
(0,
a(a-1)
)
;
②當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0)及(0,+∞);
③當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-
a(a-1)
)
(
a(a-1)
,+∞)

(Ⅱ)由題設(shè)及(Ⅰ)中③知
a(a-1)
=
6
且a>1,解得a=3,
因此,函數(shù)解析式為F(x)=
3
x
3
+
2
3
x
(x≠0).
(Ⅲ)假設(shè)存在經(jīng)過原點(diǎn)的直線l為曲線C的對(duì)稱軸,顯然x、y軸不是曲線C的對(duì)稱軸,
故可設(shè)l:y=kx(k≠0),設(shè)P(p,q)為曲線C上的任意一點(diǎn),P'(p',q')與P(p,q)關(guān)于直線l對(duì)稱,且p≠p',q≠q',
則P'也在曲線C上,由此得
q+q′
2
=k
p+p′
2
,
q-q′
p-p′
=-
1
k
,且q=
p
3
+
2
3
p
,q′=
p′
3
+
2
3
p′
,
整理得k-
1
k
=
2
3
,解得k=
3
k=-
3
3
,
所以存在直線y=
3
x
y=-
3
3
x
為曲線C的對(duì)稱軸.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)的關(guān)系,即導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增,導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù),且f(3)<f(5).
(1)求m的值,并確定f(x)的解析式;
(2)若g(x)=loga[f(x)-ax](a>0且a≠1),是否存在實(shí)數(shù)a,使g(x)在區(qū)間[2,3]上的最大值為2,若存在,請(qǐng)求出a的值,若不存在,請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:浙江省東陽(yáng)中學(xué)高三10月階段性考試數(shù)學(xué)理科試題 題型:022

已知函數(shù)f(x)的圖像在[a,b]上連續(xù)不斷,f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),其中,min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值,max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值,若存在最小正整數(shù)k,使得f2(x)-f1(x)≤k(x-a)對(duì)任意的x∈[a,b]成立,則稱函數(shù)f(x)為[a,b]上的“k階收縮函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)=x2,x∈[-1,4]為[-1,4]上的“k階收縮函數(shù)”,則k的值是_________.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2009-2010學(xué)年河南省許昌市長(zhǎng)葛三高高三第七次考試數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:選擇題

已知函數(shù)f(x)、g(x),下列說法正確的是( )
A.f(x)是奇函數(shù),g(x)是奇函數(shù),則f(x)+g(x)是奇函數(shù)
B.f(x)是偶函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)是偶函數(shù)
C.f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D.f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案