Question

已知二次函數h（x）=ax²+bx+c（其中c＜3），其導函數y=h′（x）的圖象如圖，f（x）=6lnx+h（x）
（1）求函數f（x）在x=3處的切線斜率；
（2）若函數y=-x，x∈（0，6]的圖象總在函數y=f（x）圖象的上方，求c的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由已知，h′（x）=2ax+b，其圖象為直線，且過（0，-8），（4，0）兩點，
把兩點坐標代入h′（x）=2ax+b可得，∴a=1，b=-8，∴h′（x）=2x-8
∴h（x）=x²-8x+c，
∴f（x）=6lnx+x²-8x+c
∴f′（x）=+2x-8
∴f'（3）=0，所以函數f（x）在點（3，f（3））處的切線斜率為0；
（2）由題意，-x≥f（x）在x∈（0，6]恒成立，得-x≥6lnx+x²-8x+c在x∈（0，6]恒成立，即c≤-x²-6lnx+7x在x∈（0，6]恒成立，
設g（x）=-x²-6lnx+7x，x∈（0，6]，則c≤g（x）_min，
g′（x）=-2x-+7=-
∵x＞0，∴當x∈（，2）時，∴g'（x）＞0，g（x）為增函數；當x∈（0，）和（2，+∞）時，∴g'（x）＜0，g（x）為減函數
∴g（x）的最小值為g（）和g（6）的較小者．
∵g（）=--6ln+7×=-6ln，g（6）=-36-6ln6+42=6-6ln6，
∴g（3）-g（6）=-6ln+6ln6=+12ln2＞0，
∴g（x）_min=g（6）=6-6ln6．
又已知c＜3，
∴c≤6-6ln6．
分析：（1）根據圖象可知導函數過（0，-8），（4，0）兩點，進而求出a和b的值，把a和b的值代入h（x）中求出解析式，然后把h（x）代入到f（x）中化簡后求出f′（x），把x=3代入f′（x）中算出f′（3）即可得到切線的斜率；
（2）函數y=-x的圖象總在函數y=f（x）圖象的上方得到-x大于等于f（x），列出不等式解出c≤-x²-6lnx+7x恒成立，構造函數g（x）=-x²-6lnx+7x，求出函數的最小值即可得到c的范圍．
點評：本題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導數研究函數的單調區(qū)間以及根據函數的增減性得到函數的最值．屬于中檔題．