分析 (1)由題意,曲線W:x24+y23=1(y≥0)是橢圓x軸的上方部分,點B坐標(biāo)為(-1,0),說明A只能在第二象限,且A點是直線與曲線W的交點,橫坐標(biāo)為-1,帶入曲線W求點A的坐標(biāo),再帶入直線方程求出k.
(2)(i)設(shè)點A,點D的坐標(biāo),設(shè)而不求的思想,A,D兩點在x軸上的射影分別為點B,C.那么四邊形ABCD是直角梯形或矩形,由點A,點D的坐標(biāo)建立關(guān)系.k不存在時,四邊形ABCD也不存在,所以k必須存在.
(ii)利用點A,點D的坐標(biāo)表示△OAD的面積為S1,四邊形ABCD的面積為S2,其比值大于等于12.
解答 解:(1)由題意,y=kx+1與曲線W交于A,D兩點,A,D兩點在x軸上的射影分別為點B,C.點B坐標(biāo)為(-1,0),則點A的橫坐標(biāo)為-1,帶入曲線W:x24+y23=1,解得點A的縱坐標(biāo)為32,即A(-1,32)
∵點A在直線y=kx+1,則有:32=k×(−1)+1,
∴解得k=-12
(2)(i)由題意,k不存在時,四邊形ABCD也不存在,所以k必須存在.
設(shè)點A(xA,yA),點D(xD,yD),則點B(xA,0),點C(xD,0)
直線l:y=kx+1與曲線W交于A,D兩點,
A,D兩點帶入:x24+y23=1,y=kx+1,消去y,
解得:xA+xD=−8k3+4k2
xAxD=−83+4k2
|AD|=√1+k2•√(xA+xD)2−4xAxD=4√6(k2+1)3+4k2
△OAD的面積為S1,設(shè)原點(0,0)到直線l:y=kx+1距離為h,
則h=|Ax+By+C|√A2+B2=1√k2+1
S1=2√63=12|AD|•h
解得k=±√32
|AD|=4√6(k2+1)3+4k2=7√66
(ii)由題意及(i):可知:S1=12|AD|•h=12×4√6(k2+1)3+4k2×1√k2+1=2×√6×√k2+13+4k2
A,D兩點帶入:x24+y23=1,y=kx+1,消去x
yA+yD=63+4k2
四邊形ABCD的面積為S2
S2=12(yA+yD)•(xA+xD)=12×63+4k2×|−8k3+4k2|=24k(3+4k2)2
那么:S1S2=(2×√6×√k2+13+4k2)÷24k(3+4k2)2=√6•√k2+1•(3+4k2)12k=√612•√(k2+1)(3+4k2)2k2≥12
得證.
點評 本題考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用,考查了圓錐曲線的簡單性質(zhì),考查弦長公式的應(yīng)用,體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法,計算量大,化簡復(fù)雜,屬于難題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | y=±√3x | B. | y=±√33x | C. | y=±4x | D. | y=±14x |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | \frac{3}{2} | B. | \frac{1}{2} | C. | \frac{2}{3} | D. | \frac{1}{3} |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | \sqrt{2.48}米 | B. | \sqrt{2.36}米 | C. | \sqrt{2.43}米 | D. | \sqrt{2.52}米 |
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