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6.已知曲線W:x24+y23=1(y≥0),直線l:y=kx+1與曲線W交于A,D兩點,A,D兩點在x軸上的射影分別為點B,C.
(1)當(dāng)點B坐標(biāo)為(-1,0)時,求k的值;
(2)記△OAD的面積為S1,四邊形ABCD的面積為S2
(i)若S1=263,求線段AD的長度;
(ii)求證:S1S212

分析 (1)由題意,曲線W:x24+y23=1(y≥0)是橢圓x軸的上方部分,點B坐標(biāo)為(-1,0),說明A只能在第二象限,且A點是直線與曲線W的交點,橫坐標(biāo)為-1,帶入曲線W求點A的坐標(biāo),再帶入直線方程求出k.
(2)(i)設(shè)點A,點D的坐標(biāo),設(shè)而不求的思想,A,D兩點在x軸上的射影分別為點B,C.那么四邊形ABCD是直角梯形或矩形,由點A,點D的坐標(biāo)建立關(guān)系.k不存在時,四邊形ABCD也不存在,所以k必須存在.
(ii)利用點A,點D的坐標(biāo)表示△OAD的面積為S1,四邊形ABCD的面積為S2,其比值大于等于12

解答 解:(1)由題意,y=kx+1與曲線W交于A,D兩點,A,D兩點在x軸上的射影分別為點B,C.點B坐標(biāo)為(-1,0),則點A的橫坐標(biāo)為-1,帶入曲線W:x24+y23=1,解得點A的縱坐標(biāo)為32,即A(-1,32
∵點A在直線y=kx+1,則有:32=k×1+1
∴解得k=-12

(2)(i)由題意,k不存在時,四邊形ABCD也不存在,所以k必須存在.
設(shè)點A(xA,yA),點D(xD,yD),則點B(xA,0),點C(xD,0)
直線l:y=kx+1與曲線W交于A,D兩點,
A,D兩點帶入:x24+y23=1,y=kx+1,消去y,
解得:xA+xD=8k3+4k2
xAxD=83+4k2
|AD|=1+k2xA+xD24xAxD=46k2+13+4k2
△OAD的面積為S1,設(shè)原點(0,0)到直線l:y=kx+1距離為h,
則h=|Ax+By+C|A2+B2=1k2+1
S1=263=12|AD|•h
解得k=±32
|AD|=46k2+13+4k2=766
(ii)由題意及(i):可知:S1=12|AD|•h=12×46k2+13+4k2×1k2+1=2×6×k2+13+4k2
A,D兩點帶入:x24+y23=1,y=kx+1,消去x
yA+yD=63+4k2
四邊形ABCD的面積為S2
S2=12yA+yDxA+xD=12×63+4k2×|8k3+4k2|=24k3+4k22
那么:S1S2=(2×6×k2+13+4k2)÷24k3+4k22=6k2+13+4k212k=612k2+13+4k22k212
得證.

點評 本題考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用,考查了圓錐曲線的簡單性質(zhì),考查弦長公式的應(yīng)用,體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法,計算量大,化簡復(fù)雜,屬于難題.

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