Question

9．已知向量$\vec a=（\sqrt{3}sinx，\;\;2{cos^2}x-1），\;\;\overrightarrow b=（2cosx，\;\;1）$，且函數(shù)$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$．
（1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間$[0，\;\;\frac{π}{2}]$上的最大值和最小值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）直接利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得f（x），然后利用輔助角公式化簡(jiǎn)，再由x的范圍求得相位的范圍，進(jìn)一步求得函數(shù)的最值；
（2）直接利用相位在正弦函數(shù)的減區(qū)間內(nèi)列不等式求得x的范圍，則函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間可求．

解答 解：（1）∵$\vec a=（\sqrt{3}sinx，\;\;2{cos^2}x-1），\;\;\overrightarrow b=（2cosx，\;\;1）$，
∴$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$=$2\sqrt{3}sinxcosx+2co{s}^{2}x-1$
=$\sqrt{3}sin2x+cos2x$=$2sin（2x+\frac{π}{6}）$，
∵x∈$[0，\;\;\frac{π}{2}]$，
∴$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$，
∴$-\frac{1}{2}≤f（x）≤1$，
∴f（x）的最大值為2，最小值為-1；
（2）由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3}{2}π+2kπ（k∈Z）$，
得$\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{2}{3}π+kπ，（k∈Z）$，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為$[\frac{π}{6}+kπ，\;\;\frac{2}{3}π+kπ]（k∈Z）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是中檔題．