Question

【題目】已知實數對滿足.

（1）求的最大值和最小值；

（2）求的最小值；

（3）求的最值

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）整理方程可知，方程表示以點（2，0）為圓心，以為半徑的圓，設，進而根據圓心（2，0）到的距離為半徑時直線與圓相切，斜率取得最大、最小值；
（2）設，僅當直線與圓切于第四象限時，縱軸截距取最小值，進而利用點到直線的距離等于半徑求得的最小值；
（3）是圓上點與原點距離之平方，故連接，與圓交于B點，并延長交圓于，進而可知的最大值和最小值分別為和，答案可得.

解：（1）方程，即

表示以點（2，0）為圓心，以為半徑的圓.
設，即，

當圓心（2，0）到的距離為半徑時直線與圓相切，此時斜率分別取得最大、最小值，

由，
解得，
所以；

（2）設，則，僅當直線與圓切于第四象限時，縱軸截距取最小值.
由點到直線的距離公式，得，即或，
故；

（3）是圓上點與原點距離之平方，故連接OC，與圓交于B點，并延長交圓于，可知B到原點的距離最近，點到原點的距離最大，

此時有，
則.