Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當0≤x≤1時，f（x）=x²，當x＞0時，f（x+1）=f（x）+1，若直線y=kx與函數(shù)y=f（x）的圖象恰有9個不同的公共點，則實數(shù)k的值為（　　）

• A、2

  6

  -2
• B、2

  2

  -4
• C、2

  6

  -4
• D、2

  2

  -2

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題通過奇函數(shù)特征得到函數(shù)圖象經(jīng)過原點，且關(guān)于原點對稱，利用f（x+1）=f（x）+f（1）得到函數(shù)類似周期性特征，從而可以畫出函數(shù)的草圖，得到k的取值

解答： 解：∵當0≤x≤1時，f（x）=x²，
∴f（1）=1．
∵當x＞0時，f（x+1）=f（x）+f（1），
∴f（x+1）=f（x）+1，
∴當x∈[n，n+1]，n∈N^*時，
f（x+1）=f（x-1）+1=f（x-2）+2=…=f（x-n）+n=（x-n）²+n，
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴函數(shù)圖象經(jīng)過原點，且關(guān)于原點對稱．
∵直線y=kx與函數(shù)y=f（x）的圖象恰有9個不同的公共點，
∴當x＞0時，直線y=kx與函數(shù)y=f（x）的圖象恰有4個不同的公共點，
∴由x＞0時f（x）的圖象可知：
直線y=kx與函數(shù)y=f（x）的圖象相切位置在x∈[2，3]時，直線y=kx與函數(shù)y=f（x）的圖象恰有9個不同的公共點，
由

y=kx y=(x-2)2+2

得：
x²-（k+4）x+6=0，
令△=0，得：k=2

6

-4．
故選：C

點評：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，考查函數(shù)的對稱性、周期性、奇偶性的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與作圖能力，屬于難題．