Question

設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是橢圓+=1（a＞b＞0）的兩點(diǎn)，=（，），=（，），且•=0，橢圓離心率e=，短軸長(zhǎng)為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓方程；
（2）若存在斜率為k的直線AB過橢圓的焦點(diǎn)F（0，c）（c為半焦距），求k的值；
（3）試問△AOB的面積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵橢圓離心率e=，短軸長(zhǎng)為2，∴，解得a=2，b=1
∴所求橢圓方程為；
（2）設(shè)AB方程為y=kx+，與橢圓方程聯(lián)立，消元可得（k²+4）x²+2kx-1=0
∴，
由已知=（，），=（，），且•=0，∴+=0
∴（k）=0
∴k=±
（3）當(dāng)A為頂點(diǎn)時(shí)，B必為頂點(diǎn)，則△AOB的面積是1；
當(dāng)A，B不為頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)AB方程為y=kx+m
與橢圓方程聯(lián)立，消元可得（k²+4）x²+2kmx+m²-4=0
∴，
∵•=0，∴（kx₂+m）=0
∴2m²-k²=4
∴△AOB的面積是|m||x₁-x₂|==．
∴三角形的面積為定值1．
分析：（1）依題意可求得b，進(jìn)而根據(jù)離心率求得a，則橢圓方程可得．
（2）設(shè)AB方程為y=kx+，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及•=0，即可求得k的值；
（3）當(dāng)A為頂點(diǎn)時(shí)，B必為頂點(diǎn)，則△AOB的面積是1；當(dāng)A，B不為頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)AB方程為y=kx+m與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及•=0，可得2m²-k²=4，從而可得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查三角形面積的計(jì)算，屬于中檔題．