Question

15．已知直線2x+y-10=0過雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的焦點且與該雙曲線的一條漸近線垂直，則該雙曲線的方程為（　�。�

• A． $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$
• B． $\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{5}=1$
• C． $\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{20}=1$
• D． $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$

Answer 1

分析 求得直線2x+y-10=0與x軸的交點，可得c=5，求出漸近線方程，由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，可得a=2b，解方程可得a，b，進而得到雙曲線的方程．

解答 解：直線2x+y-10=0經(jīng)過x軸的交點為（-5，0），
由題意可得c=5，即a²+b²=25，
由雙曲線的漸近線方程y=±$\frac{a}$x，
由直線2x+y-10=0和一條漸近線垂直，可得：
$\frac{a}$=$\frac{1}{2}$，
解得a=2$\sqrt{5}$，b=$\sqrt{5}$，
即有雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{20}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運用直線經(jīng)過焦點和兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，考查運算能力，屬于中檔題．