Question

5．某商場(chǎng)在店慶日進(jìn)行抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，當(dāng)日在該店消費(fèi)的顧客可參加一次抽獎(jiǎng)．抽獎(jiǎng)箱中有大小完全相同的4個(gè)小球，分別標(biāo)有字“生”“意”“興”“隆”．顧客從中任意取出1個(gè)球，記下上面的字后放回箱中，再?gòu)闹腥稳?個(gè)球，重復(fù)以上操作，最多取4次，并規(guī)定若取出“隆”字球，則停止取球．獲獎(jiǎng)規(guī)則如下：取到標(biāo)有“生”“意”“興”“隆”字的球則為中獎(jiǎng)．
（Ⅰ）求獲得中獎(jiǎng)的概率；
（Ⅱ）設(shè)摸球次數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意設(shè)“中獎(jiǎng)”分別為事件A，直接利用古典概型的概率公式求解即可；
（Ⅱ）由于摸球次數(shù)為ξ，按題意則ξ=1，2，3，4，利用隨機(jī)變變量的定義及隨機(jī)變量的分布列及期望定義即可求得．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）設(shè)“中獎(jiǎng)”分別為事件A      …（1分）
則P（A）=$\frac{{A}_{3}^{3}}{{4}^{4}}$=$\frac{3}{128}$．   （列式正確，計(jì)算錯(cuò)誤，扣1分） …（5分）
（Ⅱ）設(shè)摸球的次數(shù)為ξ，則ξ=1，2，3．     …（6分）
P（ξ=1）=$\frac{1}{4}$，P（ξ=2）=$\frac{3}{4}×\frac{1}{4}$=$\frac{3}{16}$，
P（ξ=3）=$\frac{3}{4}×\frac{3}{4}×\frac{1}{4}$=$\frac{9}{64}$，P（ξ=4）=1-P（ξ=1）-P（ξ=2）-P（ξ=3）=$\frac{27}{64}$．（各1分）
故取球次數(shù)ξ的分布列為

ξ	1	2	3	4
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{27}{64}$

…（11分）
Eξ=$\frac{1}{4}$×1+$\frac{3}{16}×2$$+\frac{9}{64}×3$$+\frac{27}{64}×4$=2.75．              …（12分）

點(diǎn)評(píng) 此題考查了學(xué)生的理解及計(jì)算能力，考查了獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生及互斥事件一個(gè)發(fā)生的概率公式，還考查了離散型隨機(jī)變量的定義及分布列，隨機(jī)變量的期望．