Question

已知函數(shù)，
（I）當(dāng)a=1時，若函數(shù)g（x）在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)，求實數(shù)c的取值范圍；
（II）當(dāng)時，（1）求證：對任意的x∈[0，1]，g′（x）≤1的充要條件是；
（2）若關(guān)于x的實系數(shù)方程g′（x）=0有兩個實根α，β，求證：|α|≤1，且|β|≤1的充要條件是．

Answer 1

解：（I）當(dāng)a=1時，，g'（x）=-x²+x+c，
∵g（x）在（-1，1）上為單調(diào)遞增函數(shù)，∴g'（x）≥0在（-1，1）上恒成立，
∴-x²+x+c≥0在（-1，1）上恒成立，∴-1-1+c≥0，∴c≥2．
（II）設(shè)g'（x）=f（x），則，此拋物線關(guān)于x=對稱，
由可得，0＜≤1．對任意的x∈[0，1]，g′（x）≤1的充要條件是它的最大值c+≤1，
即 ．
（2）關(guān)于x的實系數(shù)方程g′（x）=0 即-a²x²+ax+c=0，即 =0，
∴g′（x）=0有兩個實根α，β，|α|≤1，且|β|≤1的充要條件是 ，即
，等價于 ，等價于 ．
分析：（I）要使g'（x）≥0在（-1，1）上恒成立，只要它的最小值f（-1）≥0，即-1-1+c≥0，解得c≥2．
（II）設(shè)g'（x）=f（x），對任意的x∈[0，1]，g′（x）≤1的充要條件是它的最大值c+≤1，求得c的范圍．
（2）g′（x）=0有兩個實根α，β，|α|≤1，且|β|≤1的充要條件是 ，等價于
，從而證得結(jié)論．
點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域，充要條件的定義，判斷g′（x）=0兩個
實根α，β，|α|≤1，且|β|≤1的充要條件是 ，是解題的難點．