Question

已知△ABC中，2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC，
（1）求角A的大��；
（2）求sinB+sinC的最大值，并指出此時(shí)角B的大�。�

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)已知的等式，得到一個(gè)關(guān)系式，然后由余弦定理表示出cosA，把表示出的關(guān)系式代入即可求出cosA的值，由A的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；
（2）由（1）求出的A的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出B+C的度數(shù)，用B表示出C，代入sinB+sinC中，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，即可求出sinB+sinC取得最大值時(shí)B的度數(shù)．

解答：解：（1）根據(jù)正弦定理得2a²=（2b+c）b+（2c+b）c，
所以b²+c²-a²+bc=0，（3分）
所以cosA=

b2+c2-a2

2bc

=-

1

2

，且A∈（0°，180°）
所以∠A=120°；（6分）
（2）sinB+sinC=sinB+sin（60°-B）=sinB+sin60°cosB-cos60°sinB
=sinB+

3

2

cosB-

1

2

sinB=

1

2

sinB+

3

2

cosB=sin（B+60°），（9分）
所以當(dāng)∠B=30°時(shí)，sinB+sinC的最大值為1（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，余弦定理，三角函數(shù)的恒等變形，以及三角函數(shù)的最值．熟練掌握定理及法則是解本題的關(guān)鍵．